Für welche natürlichen Zahlen n≥1 gibt es eine reelle nxn Matrix A mit 2A2+4A=-10I

Question

ich brauche mal wieder eure Hilfe.

Für welche natürlichen Zahlen n≥1 gibt es eine reelle nxn Matrix A mit 2A2+4A=-10I, wobei I die Einheitsmatrix bezeichnet.

Kann mir vielleicht jemand sagen, wie ich die Aufgabe lösen kann, bzw. was erstmal schon mein Ansatz ist? Ich hab leider gar keine Idee

Comments

Für n=2 macht's die Matrix $A_2=\begin{pmatrix}0&-5\\1&-2\end{pmatrix}$. Damit sollte die Aufgabe zumindest für alle geraden n lösbar sein.

Answer 1

Da schon seit geraumer Zeit niemand antwortet, vielleicht von mir etwas Hilfe zur Selbsthilfe:

Probiere es für n=1, n=2 und n=3 doch mal selbst aus. Verwende dabei die Matrizen

$A= \begin{pmatrix} a \end{pmatrix}$

$A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

$A=\begin{pmatrix} a & b &c\\ d & e &f\\g&h&i \end{pmatrix}$

Berechne für jede dieser Matrizen 2A²+4A und setze das Ergebnis gleich $\begin{pmatrix} -10 \end{pmatrix}$ bzw $\begin{pmatrix} -10 & 0 \\ 0 & -10 \end{pmatrix}$ bzw. $\begin{pmatrix} -10 & 0 &0\\ 0 & -10 &0\\0&0&-10\end{pmatrix}$

Sind die entstehenden Gleichungssysteme lösbar?

Comments

Dankeschön.

Also im Fall n=1 erhalte ich schon ein komplexes Ergebnis.

a1=-1+2i, a2=-1-2i

Im Fall n=2

2a²+2bc+4a-10=0

2ab+2bc+4b=0

2ac+2cd+4c=0

2bc+2d²+4d-10=0

Muss ich das jetzt wirklich komplett auflösen? Weil die Aufgabe ist aus einer Klausur und gibt insgesamt 7 Punkte und das erscheint mir doch sehr viel Aufwand für die 7 Punkte

---

Ah ich hab glaub was herausgefunden.

Bei n=2 ist die zweite Gleichung lösbar für a=b=d=0

Die dritte Gleichung für a=c=d=0

Also gilt insgesamt a=b=c=d=0 was aber ein Widerspruch zur 1. und 4. Gleichung ist, da 10≠0.

Und sorry das muss natürlich +10 bei der ersten und vierten Gleichung heißen

---

Muss ich das jetzt wirklich komplett auflösen? Weil die Aufgabe ist aus einer Klausur und gibt insgesamt 7 Punkte und das erscheint mir doch sehr viel Aufwand für die 7 Punkte

Dass das eine Klausuraufgabe ist wusste ich nicht.

Zunächst mal kannst du halbieren und A ausklammern:

A(A+2 I) = -5I

Nun entsteht I ja eigentlich, wenn man A mit A^-1 multipliziert.

Also müsste A+2 I = -5 A^-1 sein.

Hilft das irgendwie weiter?

Answer 2

Wir haben ein Polynom mit Grad 2. Es bietet sich also an erstmal eine 2x2 Matrix zu suchen, denn deren charakteristisches Polynom ist auch vom Grad 2. Das richtige Stichwort lautet hier: Satz von Cayley-Hamilton. Dieser sagt: ist $A$ eine Matrix mit charakteristischem Polynom $\chi_A(t) = t^2 + 2t + 5$, so ist $\chi_A(A) = A^2 + 2A + 5I = 2A^2 + 4A + 10I = 0$.

Also reicht es eine Matrix mit diesem charakteristischen Polynom zu finden. Wir wählen $A$ allgemein

$$\chi_A(t) =\det\begin{vmatrix} t - a & -b\\ -c & t -d\end{vmatrix} = t^2 - (a+d)t + ad -bc$$

und wählen jetzt $a,b,c,d$ so, dass $-(a+d) = 2$ und $ad-bc = 5$ (Koeffizientenvergleich!)

Also z.B. $a = -2, d=0, b = -5, c = 1$ und erhalten

$$A = \begin{pmatrix} -2 & -5 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Diese Matrix erfüllt die geforderte Eigenschaft $2A^2 + 4A = -10I$.

-------------------------------------

Für $n \times n$ Matrizen mit $n$ gerade. Können wir einfach die Blockmatrix

$$B := \begin{pmatrix} A & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & A \end{pmatrix}$$

verwenden, denn

$$\begin{aligned} 2B^2 + 4B &= \begin{pmatrix} 2A^2 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & 2A^2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 4A & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & 4A \end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix} -10I_2 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & -10I_2 \end{pmatrix} \\&= -10I_n \end{aligned}$$

-------------------------------------

Für $n \times n$ Matrizen mit $n$ ungerade, existieren solche Matrizen nicht, denn angenommen es gibt eine solche Matrix $B$

$$B^2 + 2B +5I_n = 0 \Longleftrightarrow B^2 +2B + I_n = -4I_n \Longleftrightarrow (B+I_n)^2 = -4I_n$$

beim letzten Schritt haben wir verwendet, dass $B$ stets mit $I _n$ kommutiert. Somit kann der binomische Lehrsatz (hier der Spezialfall binomische Formel) angewendet werden. Damit gilt aber

$$\underbrace{\det(B+I_n)^2}_{\ge0} = \det((B+I_n)^2) = \det(-4I_n) = \underbrace{(-4)^n}_{<0}$$

Widerspruch. Für n ungerade existiert somit keine Matrix, die die Gleichung erfüllt.

Comments

Hammer !!!!!