Analytische Geometrie Vektoren Tunnel berechnen

Question

Aufgabe:

Hallo die Aufgabe lautet: Ein neuer Tunnel wird in einem Berg gebaut.. Dieses Vorhaben wird wie von beiden Seiten des Berges betrieben, es gibt also die Basisstation A und B. Von diesen beiden
Basisstationen wird nun der Tunnel gegraben. Für eine Belüftung des Tunnels wird ein Lüftungsschacht von
oben gebohrt. Der Lüftungsschacht wird genau über dem Punkt liegen, an dem sich die beiden Bautrupps
treffen, der Berg hat an dieser Stelle eine Höhe von 2000 m.
Die Einheit zur Berechnung ist Meter und es liegen folgende Daten zugrunde:

Von Station (235|100|1000) wird in Richtung ⃗ = (
10,3
0
1
) gegraben und
von Station (1125|1200|1200) wird in Richtung ⃑⃗ = (
−15
−44
−6
) gegraben.

1. Bei welchen Koordinaten treffen sich die beiden Tunnel?
2. Wie lang ist der Lüftungsschacht?

Problem/Ansatz:

erstmal müssen zwei Geradengleichungen aufgestellt werden. Hier mein Problem: Bei mir sind die RV aber linear abhängig und können sich so nicht schneiden... Mein Ansatz ist also leider falsch...

Answer 1

1. Bei welchen Koordinaten treffen sich die beiden Tunnel? 

[235, 100, 1000] + r·[10.3, 0, 1] = [1125, 1200, 1200] + s·[-15, -44, -6] --> r = 50 ∧ s = 25

S = [235, 100, 1000] + 50·[10.3, 0, 1] = [750, 100, 1050]

2. Wie lang ist der Lüftungsschacht?

2000 - 1050 = 950 m

Comments

Bei mir sind die RV aber linear abhängig und können sich so nicht schneiden

Die RV sind [10.3, 0, 1]  und [-15, -44, -6]. Wie kommst du darauf, dass diese linear abhängig sind?

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Wieso -1050?

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Wieso -1050?

Der Schnittpunkt der Schächte ist in einer Höhe von 1050 m. von dort führt der Lüftungsschacht bis auf 2000 m nach oben. Du bildest die Differenz um die Länge des Lüftungsschachtes zu ermitteln.

Answer 2

Die Richtungsvektoren sind doch nicht kollinear! Bestimme k und j in der Gleichung

\( \begin{pmatrix} 235\\100\\1000 \end{pmatrix} \)+k·\( \begin{pmatrix} 10,3\\0\\1 \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} 1125\\1200\\1200 \end{pmatrix} \) +j·\( \begin{pmatrix} -15\\-44\\-6 \end{pmatrix} \)

und setze beides in die Gleichung ein. Bei richtiger Rechnung erhältst du Schnittpunkt =Schnittpunkt.