Erwartungswert und Standardabweichung

Question

die Aufgabe lautet:

Eine Gruppe risikobereiter Erwachsener spielt zwei unterschiedliche Glücksspiele. Variante A: Ein Spielwürfel wird 20-mal geworfen. Jedes Mal, wenn der Würfel eine 5 oder eine 6 zeigt, bekommt der Spieler 1,50€. Der Einsatz beträgt 10€. Variante B: Ein Spielwürfel wird 40-mal geworfen. Jedes Mal, wenn der Würfel eine 6 zeigt, bekommt der Spieler 1,50€. Der Einsatz beträgt 10€.

a) Erklären Sie, warum beide Varianten auf eine Bernoulli-Kette zurückzuführen sind. Geben Sie jeweils n und p an.
b) Weisen Sie durch geeignete Rechnungen nach, dass beide Spielvarianten fair sind.
c) Bestimmen Sie für beide Varianten die Standardabweichung der Binomialverteilung, vergleichen Sie sie und erklären Sie die Bedeutung im Sachzusammenhang
d) Bei einer Variante C werden zwei Würfel 20-mal geworfen und man bekommt 3, wenn die Augensumme 8 oder größer ist. Bestimmen Sie einen fairen Einsatz für dieses Spiel.

Vielen Dank im Voraus! :-)

Answer 1

Eine Gruppe risikobereiter Erwachsener spielt zwei unterschiedliche Glücksspiele.

Variante A: Ein Spielwürfel wird 20-mal geworfen. Jedes Mal, wenn der Würfel eine 5 oder eine 6 zeigt, bekommt der Spieler 1,50€. Der Einsatz beträgt 10€.

Variante B: Ein Spielwürfel wird 40-mal geworfen. Jedes Mal, wenn der Würfel eine 6 zeigt, bekommt der Spieler 1,50€. Der Einsatz beträgt 10€.

a) Erklären Sie, warum beide Varianten auf eine Bernoulli-Kette zurückzuführen sind. Geben Sie jeweils n und p an.

Man interessiert sich nur für ein Ereignis (Treffer) und das Gegenereignis (Nichttreffer) und die Ausgangswahrscheinlichkeit ist für jeden Versuch immer gleich.

A: n = 20 ; p = 2/6 = 1/3
B: n = 40 ; p = 1/6

b) Weisen Sie durch geeignete Rechnungen nach, dass beide Spielvarianten fair sind.

A: 20·1/3·1.5 = 10
B: 40·1/6·1.5 = 10

c) Bestimmen Sie für beide Varianten die Standardabweichung der Binomialverteilung, vergleichen Sie sie und erklären Sie die Bedeutung im Sachzusammenhang

A: √(20·1/3·2/3) = 2.108B: √(40·1/6·5/6) = 2.357

d) Bei einer Variante C werden zwei Würfel 20-mal geworfen und man bekommt 3, wenn die Augensumme 8 oder größer ist. Bestimmen Sie einen fairen Einsatz für dieses Spiel.

20*15/36*3 = 25

Comments

Können Sie mir vielleicht die Rechnung bei d) erklären?

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Stelle zunächst eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Augensumme zweier Würfel auf.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit das die Augensumme 8 oder größer ist.

Du solltest auf 15/36 kommen.

Erwartungswert ist also

n * p = 20 * 15/36 = 25/3 Erwartete Gewinne

Wenn pro Gewinn 3 gezahlt werden bekommt man

25/3 * 3 = 25 ausgezahlt.

Bei einem fairen Spiel gilt: Einzahlung = Auszahlung und damit muss das Spiel dann auch 25 kosten.