Tangentengleichung berechnen

Question

Die Steigung einer linearen Funktion t im Punkt \( B(x_{0}|t(x_{0})) \) wird beschrieben durch den Differenzenquotienten in der Form \( \frac{t(x) - t(x_0)}{x - x_0} \) für ein beliebiges x ≠ x_{0}. Ist t die Tangente an eine differenzierbare Funktion f und B der Berührpunkt, so gilt außerdem \( t(x_0) = f(x_0) \) und \( \frac{t(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f(x_0) \).

a) Zeigen Sie, dass die Tangente t die Funktionsgleichung \( t(x) = f\left(x_{0}\right) · \left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right) \) hat.

b) Gegen Sie jeweils mithilfe der Gleichung aus a) die Gleichung der Tangente an den Punkt P bzw. Q des Graphen der Funktion f mit \( f(x) = 0,5 x^2 \), P(2|2) bzw. g mit \( g(x) = x^2 - x \), Q(-2|6) an.

Ich weiß nicht, wie ich anfangen soll.

Answer 1

a)
Wenn B(x0 | t(x0)) ein Berührpunkt ist muss gelten

f(x0) = t(x0)

t'(x0) = f'(x0)
(t(x) - t(x0)) / (x - x0) = f'(x0)
(t(x) - f(x0)) / (x - x0) = f'(x0)
t(x) - f(x0) = f'(x0)·(x - x0)
t(x) = f'(x0)·(x - x0) + f(x0)

b)
f(x) = 0.5·x^2 ; f'(x) = x

Tangente an der Stelle x0 = 2
t(x) = f'(2)·(x - 2) + f(2)
t(x) = 2·(x - 2) + 2

g(x) = x^2 - x ; g'(x) = 2·x - 1

Tangente an der Stelle x0 = -2
t(x) = g'(-2)·(x - (-2)) + g(-2)
t(x) = -5·(x + 2) + 6

Answer 2

Hallo

 Die Gleichung Bruch =f'(x0) nach t(x) auflösen.  kannst du das? das ist a)

Das verwendest du in b) nachdem du f'(x) bestimmt hast. und den Punkt in f und f' eingesetzt hast.

Gruß lul