Minimum/Maximum von Teilmengen - Existenzbeweis

Question

Aufgabe:

Sei U eine Teilmenge eines geordneten Körpers K.

a) Beweisen Sie: max(U) und min(U) sind, wenn sie existieren, eindeutig bestimmt.

b) Beweisen Sie: ist U endlich, dann existieren max(U) und min(U).

Und jetzt starten die eigentlichen Probleme...:

c) Seien U,V ⊂ K, sodass max(U), max(V) und min(U) und min(V) existieren. Beweisen Sie

    i) U ⊂ V ⇒ max(U) ≤ max(V),

    ii) max(U+V) = max(U) + max(V)

    iii) Wenn 0 ≤ U  und 0 ≤ V, dann max(U*V) = max(U)*max(V)

    iv) max(-U) existiert und es gilt min(U) = -max(-U),

    v) max(U ∪ V) existiert und  es gilt max(U ∪ V) = max({max(U), max(V)}),

    vi) min(U ∪ V)  existiert und es gilt min(U ∪ V) = min({min(U), min(V)}).

Problem/Ansatz:

a) und b) kann ich glaube ich lösen:

a) Wenn max(U) und min(U) existieren, sind sie eindeutig bestimmt. Wenn also x und y beide max(U) sind gilt:

x ≥ y, da max(U)

y ≥ x, da max(U) ⇒ daraus folgt, dass x=y, also eindeutig bestimmt. Analog müsste das ja für das Minimum funktionieren.

b)

umformuliert: Jede endliche Teilmenge hat ein Maximum und ein Minimum.

U={x₁ +...+  x_n }⊂K mit n Elementen (n ∈ K) hat ein Maximum:  (Beweis per Induktion)

n=1:        U={x₁}, max(U)=x₁

n↦n+1:      U={x₁+...+x_n+x_n+1} = {x₁ +...+  x_n} ∪ {x_n+1}

also ist max(U)=max{{x₁+...+x_n } , { x_n+1}

bei Aufgabe c) weiß ich dann nicht mal annähernd einen Ansatz...

Answer 1

U ⊂ V ⇒ max(U) ≤ max(V)

Def. max(U) ist doch wohl:    m=max(U) <=>  m ∈ U und für alle x∈U  x≤ m.

Für   max(U) ≤ max(V) musst du also nur zeigen:

Sei m = max(U) .  und   n=max(V)  .

 Wegen m∈U und U ⊂ V gilt m∈V .

Da für alle x∈V   x≤ n  gilt, gilt es auch m,

also m ≤ n   bzw.   max(U) ≤ max(V) .

etc. Immer die Def'en der Begriffe anwenden.

Comments

Was ist mit Aufgabe c) ii)?