Normalenvektor für Parametergleichung

Question

man kann ja mithilfe des Normalenvektor eine Parametergleichung aus einer Koordinatengleichung bestimmen. Der Normalenvektor ist ja orthogonal zur Ebene und zu den beiden Richtungsvektoren. Durch Ausprobieren kann man dann die Richtungsvektoren sowie den Stützvektor bestimmen.

4x1 + x2 + x3 = 4

  n⃗ ⊥ a⃗ = 0 (für den 1. Richtungsvektor)

n⃗ ⊥ p = 4

1. Beim Richtungsvektor verstehe ich, dass man es null setzen muss. Aber warum muss ich beim Stützvektor das 4 setzen? Und warum arbeite ich auch beim Stützvektor mit dem Normalenvektor? Was für einen Nutzen hat dieser, dass er orthogonal zur Ebene ist?

2. Und kann man sagen, das man dem Normalenvektor man zwei linear unabhängige Richtungsvektoren bzw. Spannvektoren bestimmen kann?

Answer 1

Du kannst drei Lösungen des Gleichungssystem recht einfach ablesen:

4x + y + z = 4

Die Lösungen sind hier: A = [1, 0, 0] ; B = [0, 4, 0] und C = [0, 0, 4]

Warum kann man diese Lösungen sehr einfach ablesen?

Nun hat man aber 3 Punkte und kann hier recht einfach eine Parameterform aufstellen.

Zu Deinen Fragen

1. Beim Richtungsvektor verstehe ich, dass man es null setzen muss. Aber warum muss ich beim Stützvektor das 4 setzen? Und warum arbeite ich auch beim Stützvektor mit dem Normalenvektor? Was für einen Nutzen hat dieser, dass er orthogonal zur Ebene ist? 

Der Stützvektor ist nicht orthogonal zum Normalenvektor. Daher setzt man das Skalarprodukt der Vektoren auch nicht gleich Null sondern gleich 4.

Das liegt einfach daran das man

4x + y + z = 4 auch schreiben kann als [x, y, z] * [4, 1, 1] = 4

Also suche ich ein Produkt welches 4 ergibt. 3 Lösungen habe ich oben bereits angegeben.

2. Und kann man sagen, das man dem Normalenvektor man zwei linear unabhängige Richtungsvektoren bzw. Spannvektoren bestimmen kann?

Ja. Man bestimmt aus dem Normalenvektor zwei unabhängige Richtungsvektoren. Aus meinen Lösungen A, B und C kann man auch die Richtungsvektoren AB und AC bestimmen. Diese sind unabhängig und bilden mit dem Ortsvektor A eine Parameterform der Ebene.

Answer 2

Verwandle die Gleichung 4x + y + z = 4 in die Normalenform: \( \begin{pmatrix}4\\1\\1 \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) = 4. Dann ist die 4 ein Produkt aus einem Stützvektor und dem Normalenvektor.

Comments

Aber warum muss ich das beim Stützvektor machen? Was sagt die 4 aus?

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Wenn man die Parameterform einer Ebenengleichung mit dem Normalenvektor der Gleichung derselben Ebene durchmultipliziert, ergibt sich die Normalenform dieser Ebene. Im Verlaufe des Durchmultiplizierens wird auch der Stützvektor aus der Parameterform mit dem Normalenvektor multipliziert. Das entsprechendeTeilergebnis ist ein Zahl (eben hier die 4).

Answer 3

in der Koordinatengleichung   n₁ · x₁ +  n₂ · x₂ + n₃ · x₃  =  c  kann man die Koordinaten des Normalenvektors  \(\vec{n}\)  direkt ablesen.

2. Und kann man sagen, dass man mit dem Normalenvektor zwei linear unabhängige Richtungsvektoren bzw. Spannvektoren bestimmen kann?

Ja, das kann man:

Beispiel:

  \(\vec{n}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\)

Setze jeweils eine Koordinate = 0, vertausche die beiden anderen Koordinaten und ändere ein Vorzeichen:

\(\vec{u}=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)   ,   \(\vec{v}=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

 Das Skalarprodukt beider Vektoren mit  \(\vec{n}\) ist dann jeweils gleich 0 und beide sind wegen der Nullen bei verschiedenen Koordinaten linear unabhängig.

Gruß Wolfgang