Volumen eines Pyramidenstumpfs

Question

Aufgabe: Die quadratische Pyramide wird 4 cm von der Spitze entfernt parallel zur Grundsläche abgeschnitten. Ferner gilt: G1 = 64 cm² und h = 10 cm

Berechne das Volumen des entstehenden Pyramidenstumpfes, indem du das Volumen der oberen Ergänzungspyramide vom Volumen der ursprünglichen Pyramide abziehst.

Problem/Ansatz: Ich habe einen Lösungsansatz mit Strahlensatz vorliegen. Soweit leuchtet mir der Ansatz auch ein, bis auf einen Sachverhalt:

h*/h  =  a2/a1

4/14  =  a2/4

Laut Zeichnung müsste a1 aber doch nur 2 cm lang sein, oder?

Comments

Schau mal hier nach

https://www.mathelounge.de/242409/volumen-eines-pyramidenstumpfes

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Ich finde deinen Ansatz gut. Rechne weiter damit! Wo erkennst du in der Zeichnung, wie lang die Seite a1 sein müsste?

a2=4*4/14=16/14=8/7

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Die Aufgabenstellung ist sehr schlecht. Warum gibt es in der Zeichnung zweimal die Strecke h? Welche Strecke ist jetzt genau 10cm lang? Die gesamthöhe oder die Höhe des stumpfes?

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Ja die Beschriftung im Buch ist völlig daneben.

Da die Lösung im Buch 4/14  =  a2/4 lautet ist die gesamte Höhe 14 cm, die abgeschnittene Pyramidenspitze 4 cm hoch und der Pyramidenstumpf 10 cm hoch.

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Ok. Dann bleibt die Frage offen, wie der/die FS zu erkennen glaubt, dass die Länge a1 2cm betragen müsste.

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Laut Zeichnung müsste a1 aber doch nur 2 cm lang sein, oder?

Vielleicht ganz stur in der Zeichnung mit dem Lineal nachgemessen und nicht bedacht das das nur eine Konstruktionsskizze ist und auf keinem Fall die original Pyramide darstellt.

Das ist nur eine Vermutung. Das muss nicht so sein.

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Lieber Mathecoach, das ist auch nicht so :-)

Ich habe nicht nachgemessen, weil ich tatsächlich davon ausgegangen bin, dass es sich nur um eine Skizze handelt. Ich habe aber trotzdem geschlafen: Da im Buch oft von Pyramiden mit quadratischer Grundfläche mit a = 4 cm die Rede war, habe ich das einfach auch hier so angenommen und bin nicht mal stutzig geworden, als ich von G1 = 64 cm² gelesen habe :-(

Die Aufgabe habe ich mittlerweile aber gelöst:

a = 1,143 cm

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Lieber Koffi,

weil der Fragesteller geschlafen hat (siehe Antwort an Mathecoach) :-(

Ich habe jetzt gerechnet:

h*/h = a2/a1

4/14 = a2/4

16/14 = a²

1,143 = a

Danke für Deine Rechnung :-)

Answer 1

Für die kleine Pyramide gilt:

G=(2*8/7)^2=256/49

V=1/3*256/49*4=1024/147

Für die große Pyramide gilt:

V=1/3*64*14=896/3

Die Differenz ist:

V_{Stumpf}=896/3-1024/147=42880/147≈291,7 cm^3

Comments

Ja, danke, wunderbar, dann stimmt mein Ergebnis

Answer 2

G1 = a^2 = 64 cm² → a = 8 cm

a1 ist jetzt die halbe Grundkante also a1 = 1/2*a = 4 cm

Soweit verstanden?

Man kann auch den Ansatz

h2^2/h1^2 = G2/G1 machen [h1 ist die komplette Höhe und h2 die Hohe der Pyramidenspitze]

4^2/14^2 = G2/64 --> G2 = 256/49 = 5.224 cm²

V = 10/3 * (256/49 + √(256/49 * 64) + 64) = 42880/147 = 291.7 cm³