Volumen mit Hilfe eines Integrals über r berechnen

Question

Ich habe eine Frage zur Berechnung von folgendem Integral

∫∫∫r dh dr dφ = 2/3 π -8/9 wobei das Integral folgende Grenzen hat

(-π/2,π/2) x (0, cosφ),(0,(1-r²)^1/2).

Kann mir jemand weiterhelfen und sagen, wie ich auf die Lösung komme?

Comments

Mach doch bitte mal ein Bild von der genauen Aufgabe?

Wie sind denn die Grenzen genau zugeteilt?

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Hallo

 die Grenzen über r machen keinen Sinn, soll h von 0 bis cos(fi) gehen, dann ist eine Ergebnis mit pi nicht möglich . Kurz;  poste die genaue Aufgabe.

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Man bestimme das Volumen des Vivianischen Körpers, der als Schnittmenge der Einheitskugel {(x,y,z):x²+y²+z²≤1 } mit dem Zylinder Z={(x,y,z):x²+y²≤ x} entsteht.

Dann gilt r≤ cos φ und h≤(1-r²)(^1/2) daher kommen auch die Grenzen.

Und kann mir jemand sagen, wie man generell auf die Grenzen kommt?

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Bei dir fehlt ein Faktor 2.

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Wo fehlt denn der Faktor 2? Was sind dann die Intervallgrenzen und wie komme ich dann auf die Lösung?

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So wie du den Körper beschreibst, kann h auch negativ sein.

Answer 1

so kommst Du auf das angegebene Ergebnis.

Erst das innere Integral berechnen, dann das äußere.

V=

Substituiere beim inneren Integral v= 1 -r^2

Ergebnis inneres Integral;: -1/3 (1 - cos^2(φ))^(3/2) +1/3 +C

Comments

Danke und wie kommst du auf die Integralgrenzen?