Beweisen dass, die Komplexe Zahlen ein Körper bilden

Question

Aufgabe:Untersuchen Sie die Korperaxiome für (C;+; ).
a) Geben Sie geeignete neutrale Elemente der Addition und Multiplikation an und zeigen
Sie, dass die Abschlusseigenschaft damit erfüllt ist.
b) Geben Sie geeignete inverse Elemente der Addition und Multiplikation an und zeigen
Sie, dass die Abschlusseigenschaft damit erfüllt ist.

Problem/Ansatz:

ich weiss nicht, wie ich voegehen muss, bitte ganz einfach erklären, wie es geht

danke

Comments

Wie habt ihr denn ℂ und darin das + und das * definiert ?

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c ist der menge der komplexen Zahlen .

c=a+b*i so dass a,b Elemente der Rellenzahlen. i ist keine Variable sondern der imganiare Element i^2=-1

den Plus und mal sind verknüpfungen

Answer 1

Na dann musst du einfach als neutrales Element der Addition

o+o*i wählen; denn dann gilt ja

(a+bi) +(o+o*i ) = (a+0) + (b+0)i = a+bi

und für die Multiplikation   1+0i .

Comments

Danke dir. Jetzt ist verständlich

ich habe noch eine Frage, wie sieht aus mit dem inverses Element?

und wie prüfe ich die assozivität?

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(1+0i)*(1+0i)=(1*1-0*0)+(1*0+1*0)*i=1*0i

ist das so richtig bei der Multiplikation?

ich habe noch eine Frage, wie sieht aus mit dem inverses Element?

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Für die Multiplikation musst du zeigen

(a+bi)*(1+0i)=(a*1+bi*1)+(a*0i+bi*0i)*i

                     = a + bi

Denn irgendein Element mal das neutrale

muss ja wieder das erste geben.

Inverse bzgl + ist von a+bi

das Inverse -a - bi.

Bei * etwas kniffliger

Du brauchst ja zu a+bi ein x+yi so dass deren

Produkt 1 bzw.   1 + 0i ist

Da rechnest du das einfach aus

(a+bi )*( x+yi )  =  1 + 0i

ax-by  +   (bx+ay)i   =  1 + 0i

==>  ax+by = 1 und    bx + ay = 0

und daraus kannst du x und y bestimmen

x = a / (a^2+b^2)  und y = -b / ( a^2 +b^2 )

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Super.Vielen Dank

Answer 2

die komplexen Zahlen erben die Körpereigenschaften von den reellen Zahlen.

Es gilt

$$z=x+iy\\ x+iy +(-x-iy)=0\\ (x+iy)*0=0\\ 1=\frac{x+iy}{x+iy}=z\frac{1}{x+iy}=z\frac{x-iy}{x^2+y^2}$$

Comments

kannst du die letzte Zeile mehr deutlichen? ich habe da Leider nichts verstanden

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in der letzten Zeile geht es um die Berechnung des multiplikativ inversen Element von z=x+iy .

Prinzipiell kann man in den komplexen Zahlen rechnen wie mit reellen Zahlen, nur das zusätzlich noch gilt i^2=-1 . Das wird benutzt, um das Inverse von z zu berechnen.

Das Inverse von z würde man wie bei den reellen Zahlen erstmal einfacher weise als

1/z =1/(x+iy) ansetzen.

Nun kannst du den Bruch mit dem komplex Konjugierten von z, z^{*}=x-iy

erweitern.

1/(x+iy) =(x-iy)/((x+iy)(x-iy))

Den Nenner kannst du nun mithilfe der dritten bin. Formel ausrechnen:

(x+iy)(x-iy)=x^2-(iy)^2=x^2-i^2y^2=x^2+y^2

Damit lautet das Ergebnis:

z_{invers}=(x-iy)/(x^2+y^2)