Vollständige Induktion: Ungleichung mit Wurzel zeigen: n * √n > n + √n für alle n >= 4

Question

Mein Problem ist, dass ich mir nicht sicher bin, ob ich folgende Vollständige Induktion richtig gelöst habe oder nicht:

n * √n > n + √n für alle n >= 4

Ich habe bisher folgenden Lösungsansatz :

Induktionsanfang : 4 * √4 > 4 + √4 =>  8 > 6 (wahre Aussage)

Induktionsbedingung : (n + 1) * √(n + 1) > n + 1 + √(n+1)

V -> B:

√(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) > √((n + n^2) + 3n^2 + 3n + 1) = √(4n^2 + 4n + 1) = 2n + 1 = n + n + 1 > n + n > n + √n

Comments

Die Verankerung ist schon mal richtig.

Ist die Methode "vollständige Induktion" vorgeschrieben?

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Hi,

beim Induktionsanfang muss ein Äquivalenzpfeil stehen (anstatt des Folgepfeils), sonst ist der Anfang nicht gemacht.

Beim Induktionsschritt hast du bisher nur gezeigt, dass \( (n+1)\sqrt{n+1} > n + \sqrt{n} \), was ja klar ist, da \((n+1)\sqrt{n+1} > n\sqrt{n} \) gilt.

Zu zeigen ist aber (wie du richtig zu Beginn deines Schrittes formuliert hast): \( (n+1) \sqrt{n+1} > n+1+\sqrt{n+1}\).

Tipp: \( (n+1)\sqrt{n+1} = n\sqrt{n+1} + \sqrt{n+1}\)

Dabei wirst du aber vermutlich sehen, dass du deine Induktionsvoraussetzung nicht (unbedingt) brauchst (siehe Lu's Kommentar)

Gruß,

Yakyu

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Ja, es soll eine vollständige Induktion sein.

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√(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) > √(n^2 + 1 + n + 1 + 3n^2 + 3n + 1) = √(4n^2 + 4n + 3) > √(4n^2 + 4n + 1) = 2n + 1 = n + n + 1 > n + n > n + √n

Answer 1

Hallo

 es wird noch viel einfacher, wenn du die Ungleichung durch√n dividierst-

Gruß lul

Comments

IV : n > √n + 1

IA : 4 > √4 + 1 <=> 4 > 3

IB : n + 1 > √(n+1) + 1

IS : n + 1 > √n + 2 > √(n+1) + 1

Ist es so korrekt ?

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Hallo

Korrekt,  aber du musst  erstens mit der Umformung anfangen, dann sagen , wo du die IndV  einsetzt.

und schließlich in einem Schritt zeigen √(n+1)<√n +1

(z.B durch quadrieren)

Gruß lul