Wie zeige ich hier die Konvergenz mittels Definition?

Question

Aufgabe:

$$ \begin{array}{l}{\text { Zeigen Sie mit Hilfe der Definition der Konvergenz im } \mathbb{R}^{n}, \text { dass } \vec{x}_{k}=\left(\frac{1}{\sqrt{k+1}},  1+\color{blue}{\frac{1}{k}}               \right)} \\ {\text { konvergent ist, und bestimmen Sie den Grenzwert. }}\end{array} $$

[ Edit: Die Aufgabenstellung wurde im Kommentar korrigiert: 1/k statt 1/n ]

Problem/Ansatz:

Hallo

Ich weiß gerade nicht wie ich weiter machen soll. Hier mein bisheriges Kunstwerk

$${ x }_{ k }=\left( \frac { 1 }{ \sqrt { k+1 }  } ,1+\frac { 1 }{ k }  \right) \quad =\quad (0,1)\\ Es\quad gilt\quad |{ x }_{ k }-(0,1)|\quad =\quad \sqrt { { (\frac { 1 }{ \sqrt { k+1 }  } ) }^{ 2 }+{ (1+\frac { 1 }{ k } ) }^{ 2 } } =\quad \sqrt { { \frac { 1 }{ k+1 }  }+1+\frac { 2 }{ k } +{ (\frac { 1 }{ k } ) }^{ 2 } } $$

Hier mal die Definition aus meinem Skript:
$$ \begin{array}{c}{\text { Definition 9. Eine Folge }\left(\vec{x}_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \text { im } \mathbb{R}^{n} \text { heißt konvergent gegen } \vec{a} \in \mathbb{R}^{n}, \text { wenn }} \\ {\lim _{k \rightarrow \infty}\left|\vec{x}_{k}-\vec{a}\right|=0} \\ {\text { Beachten Sie, dass }\left(\left|\vec{x}_{k}-\vec{a}\right|\right)_{k \in \mathbb{N}} \text { einfach eine Folge reeller Zahlen ist, und dafür wissen wir, }} \\ {\text { was Konvergenz ist. Man schreibt dann auch }} \\ {\vec{a}=\lim _{k \rightarrow \infty} \vec{x}_{k}}\end{array} $$

Answer 1

Hallo Anja, 

n ist eine feste natürliche Zahl (Dimension des gegebenen ℝⁿ), deshalb gilt - im Gegensatz zur 1. Zeile deines "Kunstwerks" -

$$\vec{x}_k=  \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{k+1}} \\ 1+\frac{1}{n}  \end{pmatrix} \text{ }\text{ }mit\text{ }\text{ }\color{green}{\lim\limits_{k\to\infty} \vec{x}_k=   \begin{pmatrix} 0 \\ 1+\frac{1}{n}  \end{pmatrix}}\text{ }=:\text{ }\vec{a}$$  wegen \( \lim\limits_{k\to\infty}|\vec{x}_k- \vec{a}| = \lim\limits_{k\to\infty} \left|  \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{k+1}} \\ 0  \end{pmatrix} \right|    =\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt{k+1}}=0\)

Gruß Wolfgang 

Comments

n ist eine feste natürliche Zahl (Dimension des gegebenen ℝ^n)

Ob die Aufgabe das wirklich hergibt ?  Und warum rechnest du dann nicht weiter ?

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Keine Ahnung, was du meinst ?

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Ich meine, dass der Hinweis zur Konvergenzdefinition eben ein ganz allgemeiner ist (der auch weggelassen werden könnte) und den Schluss  n = 2  für die gegebene Beispielfolge nicht unbedingt gestattet.

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Das wäre dann ein Missbrauch des Buchstabens n in der Aufgabenstellung :-)

Sind wir uns wenigstens darin einig, dass n eine feste Zahl ist? Dann würde sich ja an der Berechnung nichts ändern. (?)

Ansonsten würde mich dein Lösungsvorschlag sehr interessieren. Ich muss jetzt aber erst einmal ein paar Stunden schlafen.

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Ich bin mit deinen Berechnungen völlig einverstanden.

Ich denke eben nur nicht, dass bei dieser Folge die x_2-Werte 1,5 sind, obwohl x ein zweidimensionaler Vektor ist; das müsstest du ja dann konsequenterweise annehmen, wenn du voraussetzt, dass das n bei x_2 gleich dem n in ℝ^n ist (wovon ich eben nicht überzeugt bin).

Von Missbrauch würde ich allerdings nicht sprechen, der ℝ^n heißt nun mal gerne so und nicht ℝ^g.

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Hallo -Wolfgang-,

ich habe da mal eine Frage zu deiner Antwort.

Und zwar schreibst du $$\lim  _{ k\to \infty  }\left| \begin{pmatrix} \frac { 1 }{ \sqrt { k+1 }  }  \\ 0 \end{pmatrix} \right| $$ , also verschwindet  $$1+\frac { 1 }{ n }$$  auf einmal.

Was ist die Intention an dieser Geschichte?

Ich habe mich damals schon schwer getan den normalen Konvergenzbeweis (Ana 1) zu verstehen, bei dem hier weiß ich irgendwie nicht, was das Ziel am Ende sein soll.

LG

Anja

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1+1/n  hebt sich doch bei der Differenz \(\vec{x}\) - \(\vec{a}\) ind der 2. Komponente einfach weg.

Und \( \sqrt{  \left(  \frac{1}{\sqrt{k+1}}  \right)^2 +0^2}= \frac{1}{\sqrt{k+1}} \)

Die Intention ist die Bestätigung des Grenzwerts mit Hilfe eurer Definition 9

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Ja, das sehe ich, aber mir fehlt das Verständnis wie du a definiert hast. Also warum hast du a so gewählt? Wurde da irgendwas spezielles angewandt?

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Wenn du bei  \(\vec{x_k}\) in jeder Komponente k->∞ betrachtest, kommt genau dieser Vektor \(\vec{a}\) raus.

Eigentlich könnte man da aufhören, aber ihr sollt ja zum Nachweis eure Definition 9 benutzen.

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Würde dann nicht eher a = (0,1) rauskommen, wenn man es komponentenweise tut?

denn 1/sqrt(k+1) = 0 (k to infty) und 1+1/k = 1 (k to infty)

Ich hoffe du verstehst, wo gerade mein Problem liegt?

Es geht nur darum, dass du bei a  dies hier getan hast "1/sqrt(k+1) = 0 (k to infty)" ,aber nicht die zweite Komponente betrachtet hast.

Nun rechnest du xk - a und dann macht es Sinn, man kommt schlussendlich auf 0 , aber der erste Schritt , also das Finden von a ist unverständlich.

Außer du sagst mir, dass du a extra so gewählt hast, um schlussendlich mit ak - a die gewünschte 0 zu erhalten. Mit der komponentenweisen Betrachtung hätte a dann doch aber nicht zu tun, jedenfalls nicht um wirklichen Sinn. Man wäre dann ja auch noch nicht fertig, denn der Grenzwert ist ja  (0,1) und nicht (0,1+1/k)

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... aber nicht die zweite Komponente betrachtet hast.
...und nicht (0,1+1/n)

Die 2. Komponente  1+1/n  verändert sich doch nicht, wenn k → ∞ geht.

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Ups ich habe ausversehen n statt k  geschrieben, daran liegt es, dass wir aneinander vorbeireden.

Es muss in der Aufgabe $$ \vec { x } _{ k }=\left( \frac { 1 }{ \sqrt { k+1 }  } ,1+\frac { 1 }{ k }  \right)   $$ lauten

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Dann sieht die Sache natürlich anders aus :-)

Schaue heute Abend noch einmal danach!

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OK, ich danke dir jetzt schon einmal:)

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Hier wäre meine Idee:

$$\vec { x } _{ k }=\begin{pmatrix} \frac { 1 }{ \sqrt { k+1 }  }  \\ 1+\frac { 1 }{ k }  \end{pmatrix}\quad mit\quad { \lim _{ k\to \infty  } \vec { x } _{ k }=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} }:=\quad a\\ Damit\quad folgt\\ \lim _{ k\to \infty  } |\vec { x } _{ k }-\vec { a } |=\lim _{ k\to \infty  } \sqrt { { (\frac { 1 }{ \sqrt { k+1 }  } -0) }^{ 2 }+\quad { (1+\frac { 1 }{ k } -1) }^{ 2 } } \\ \\ =\lim _{ k\to \infty  } \sqrt { { \frac { 1 }{ \sqrt { k+1 }  }  }^{ 2 }+\quad { \frac { 1 }{ k }  }^{ 2 } } =\quad =\lim _{ k\to \infty  } \sqrt { \quad \frac { k^{ 2 }+k+1 }{ k^{ 2 }(k+1) }  } =\quad 0\quad für\quad k\to \infty $$

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Wenn du die Brüche in der 1. Wurzel der letzten Zeile klammerst, ist das perfekt.

Den letzten Gw kannst du auch weglassen, weil sich davor √(0² + 0²) ergibt.

für k → ∞ am Schluss ist auch überflüssig (steht ja schon unter lim)

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Oki, ich danke dir für die Hilfe.

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immer wieder gern :-)