Exponentialfunktion mit f(x)=10e^{a*x²+b*x}

Question

ich bin schon seit Stunden am Schreibtisch und versuche das zu Lösen, leider klappt bis jetzt noch nicht. Ich sollte f(x) = 10 • e^{a•x²+b•x} in der 1. Ableitung bzw. in der 2. Ableitung rechnen.
Das Problem hatte ich, dass bei mir Produktregel mit u, u', v, v' nicht funktioniert. Das macht mich durcheinander und ich hoffe, dass einer von euch mir helfen kann, bitte mit den leichte Rechenweg für Anfänger (Damit ich beim Nächsten mal Selbstständig rechnen kann). Wäre super wenn einer mir schnell helfen kann, da ich dann noch Extrempunkte, Wendepunkte und weiteres rechnen muss.

Answer 1

f(x) = 10·e^{a·x^2 + b·x}

Kettenregel mit
u(x) = 10·e^x
u'(x) = 10·e^x
v(x) = a·x^2 + b·x
v'(x) = 2·a·x + b

f'(x) = 10·e^{a·x^2 + b·x}·(2·a·x + b)

Produktregel mit

u(x) = 10·e^{a·x^2 + b·x}
u'(x) = 10·e^{a·x^2 + b·x}·(2·a·x + b)

v(x) = 2·a·x + b
v'(x) = 2·a
f''(x) = 10·e^{a·x^2 + b·x}·(2·a·x + b) · (2·a·x + b) + 10·e^{a·x^2 + b·x} · (2·a)
f''(x) = 10·e^{a·x^2 + b·x}·((2·a·x + b)^2 + 2·a)

Comments

Aber mein Mathelehrerin hat uns das Ergebnis aufgeschrieben:

f''(x) = e^ax²+bx•[20a+10•(2ax+b)²]

und wie rechnet man eigentlich diese Lösung von Lehrerin? .. 

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Du hast meine Lösung oben

f''(x) = 10·e^{a·x^2 + b·x}·((2·a·x + b)² + 2·a)

ziehe den Faktor 10 doch einfach in die letzte Klammer hinein.

f''(x) = e^{a·x^2 + b·x}·(10·(2·a·x + b)² + 10·2·a)
f''(x) = e^{a·x^2 + b·x}·(10·(2·a·x + b)² + 20·a)

Das ist die Lösung der Lehrerin. Sie hat halt nur nicht den konstanten Faktor außen stehen lassen wie es eventuell sinnvoll gewesen wäre.

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OK, jetzt hab ich verstanden, dass mein Lehrerin multipliziert hat.

Ich versuch gerade alleine zu lösen und da verstehe ich eigentlich noch nicht, warum du bei erste Ableitung (2·a·x + b) gelöst hast? *kopfkratz* .. bei 10·e^{a·x2 + b·x}, war mir klar, dass bei Exponentialfunktion nichts ändern wird.

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Innere Ableitung. Ich habe doch extra die innere Funktion v(x) notiert.

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Ich hab endlich geschafft.Aber warum muss man dann 2 unterschiedliche Rechenweg geben? Ich meine, warum in der ersten Ableitung Kettenregel und in der zweiten Ableitung Produktregel? Danke sehr, dass du mir geholfen hast :-)

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In der Zweiten rechnung brauchst du natürlich auch die Kettenregel. Allerdings wurde die ja bereits berechnet und du brauchst nur noch die Produktregel besonders beachten.

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Danke sehr, ich werde mich für die Zukunft merken.

Konntest du vielleicht mir noch "Nullstellen" erklären? Ich weiß, dass das f(x) ist und ich möchte einmal durch dein Erklärung, wie Exponentialfunktion als Nullstellen funktioniert.

(Ansonsten habe ich das Ergebnis bei Nullstelle: Nur x = 10 ist die mögliche Nullstelle). Ich weiss aber nicht, ob das richtig ist. Falls ich falsch gerechnet habe, erklär mich bitte.

Wegen Achsenabschnitt, habe ich das Ergebnis A(0/10) und ich hoffe, dass das richtig ist.

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Y-Achsenabschnitt ist f(0) 

Also in die Funktion 0 einsetzen damit bekommen wir 10 heraus und der Y-Achsenabschnitt ist (0, 10)

Nullstellen ist f(x) = 0

10·e^{a·x^2 + b·x} = 0

Ein Produkt wird null, wenn einer der Faktoren null wird. Weder der Faktor 10 noch die e-Funktion werden Null. Daher gibt es hier keine Nullstellen.

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Oh, okay. Ich habe letzte Aufgabe --> Extremstellen. Ich komme aber nicht mit Exponentialfunktion klar. Konntest du mir zeigen, damit ich beim nächsten Mal selbstständig machen kann. Das war die letzte Frage.

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Extremstellen f'(x) = 0

10·e^{a·x^2 + b·x}·(2·a·x + b) = 0
2·a·x + b = 0
x = - b/(2·a)