Question

Sei a ∈ ℝ und 0 < a < 1

Zeigen sie: Für alle n ∈ ℕ ist (1+ na) (1-a)ⁿ  < 1.

Comments

Was genau meinst du mit  n_a?

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sorry das sollte na also n(kleines a9 bedeuten ;)

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Eine 9 auch noch?

Ist irgendwie angegeben, wie man von n und a zu diesem n_a kommt?

Den 2. Teil könnte man vielleicht mit e in Verbindung bringen: https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion

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Die Frage ist falsch gestellt. Es heißt schlicht na. (in Worten n mal a). ;-))

Answer 1

Nach der Bernoulli-Ungleichung ist

$$(1+x)^n \ge 1 + nx, x \ge -1, n \in \mathbb{N}$$

Man kann x = -a setzen, weil 0 < a < 1. n = n, wie gehabt. Also

$$(1 - a)^n \ge 1 - na$$

Dann kann man das auch für (1-a)^n einsetzen.

$$(1+na)(1-na) < 1$$

$$1 - (na)^2 < 1$$

$$-(na)^2 < 0$$

Sollte stimmen.