Summe ausrechnen (Ähnelt sie der Geometrischen Reihe?)

Question

Aufgabe:

$$2*\sqrt{n}*\sum \limits_{i=0}^{\\log_{2}{n}-1}\sqrt{2^{3i}}$$ möchte ich gerne vereinfachen.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass: $$\sqrt{2^{3i}} = 2^{1,5i}$$
Wie soll ich dann aber die Summe ausrechnen? Die Geometrische Reihe benötigt ja als Exponenten i und nicht 1,5i.

Ich würde mich über Hilfe sehr freuen, von selber komm ich einfach nicht drauf.

Comments

Potenzgesetz: \(a^{mn} = (a^m)^n\).

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$$\text{Also: }2^{1,5i} = 2^{1,5^{i}}. \text{ Durch Geometrische Reihe: } \frac{1-2^{1,5^{\log_{2}{n}}}}{1-2^{1,5}} = \frac{1-2^{\log_{2}{n}^{1,5}}}{1-2^{1,5}} = \frac{1-n^{1,5}}{1-2^{1,5}} \text{ oder mache ich da etwas falsch? Und wenn nicht, wie lässt sich das weiter vereinfachen?}$$

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Du musst schon Klammern setzen, sonst ist deine Notation falsch, da \((a^m)^n \neq a^{m^n}\). Ich hoffe du siehst den Unterschied.

Jedenfalls kommt man durch anwenden der geom. Reihe auf deine letzte Umformung. Das geht aber nur, wenn \(n = 2^k\) für ein \(k \in \mathbb{N}\).

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Ja, den Unterschied verstehe ich. Aber mein k ist ja kein Element der natürlichen Zahlen, wie gehe ich dann vor?

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Was passiert denn, wenn über dem Summenzeichen eine Kommazahl steht? z.B. 2,3 ?

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Soweit ich weiß, darf da nur eine natürliche Zahl stehen

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Wenn das stimmt, kannst du voraussetzen, dass n eine Zweierpotenz also irgendein 2^k ist.

Ich finde auch gerade keine Definition, in der z.B. 2.3 über dem Summenzeichen stehen darf.

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Ja, n = 2^k mit k∈ℕ. Aber was hilft mir das?

Answer 1

Hallo

 weiter vereinfachen seh ich nicht, du muss noch mit  2√n multiplizieren, und die Bemerkung "Das geht aber nur, wenn n=2^k" von y verstehe ich nicht, deine Umformung ist für alle n richtig.

Gruß lul

Comments

Das "nur" bezieht sich nicht auf die letzte Umformung sondern auf das Anwenden der geometrischen Reihe.