Zeige: R^n und Kugel mit "Radius" Eins sind homöomorph

Question

Zeigen Sie, dass R^{n} und die Kugel

$$K_{1}(0) :=\left\{\underline{x} \in \mathbb{R}^{n} |\|\underline{x}\|<1\right\}$$

homöomorph sind.

Comments

Ist die Norm gegeben oder soll das allgemeiner gezeigt werden?

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Allgemeiner...

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D.h. für jede beliebige Norm (?)

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Ja, davon gehe ich aus. Da mehr nicht gegeben ist als diese Definition.

Definition 2
Zwei metrische Räume (X, d_x ) und (Y, d_y ) heißen homöomorph, falls ein Homöomorphismus zwischen ihnen existiert, also eine bijektive Abbildung f : X → Y derart, dass f und f^-1 stetig sind.

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Kannst du da vielleicht etwas mit arctan und tan basteln?

Answer 1

Untersuche die Abbildung

$$ f: K_{\frac{\pi}{2}}(0)\to\mathbb{R}^n, x \mapsto \begin{cases}0,&x=0\\\tan\left(||x||\right)\frac{x}{||x||},&x\neq 0\end{cases}$$

Ist das ein Homöomorphismus zwischen der Kugel mit Radius π/2 und dem IR^n? Wenn ja: wie könntest du diese Abbildung verändern, um den gewünschten Homöomorphismus zu erhalten?