Gleichungssystem lösen, nur wie ? Matrix multiplikation

Question

Aufgabe:

$$a \in \mathbb R $$

$$A = \begin{pmatrix} a^2+a & 2a^2 \\ 2a & a^2+a \end{pmatrix} $$

Gibt es eine reelle Matrix mit B mit A = B².

Hinweis:

$$ B^2 := B \cdot B$$

Problem/Ansatz:

$$B=\begin{pmatrix} b & c  \\ d & e  \end{pmatrix}  $$

$$B^2=\begin{pmatrix} b^2+cd & bc+ce  \\ bd+de & bc+e^2  \end{pmatrix}  $$

$$a^2+a = b^2+cd$$

$$2a^2=bc+ce$$

$$2a=bd+de$$

$$a^2+a=bc+e^2$$

Ich schaff das nich nach a aufzulösen.

Comments

Ich habe \(B=\begin{pmatrix}a&a\\1&a\end{pmatrix}\) raus.

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Wie kommst du drauf ?

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Dann würde die letzte Gleichung nicht stimmen:

$$a^2+a \neq a \cdot a + a^2$$

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Es ist egal ob die letzte Gleichung stimmt oder nicht. Wichtig ist, dass die erste Gleichung stimmt, also die Gleichung

(1)        \(A = B^2\).

Wie du zu \(B=\begin{pmatrix}a&a\\1&a\end{pmatrix}\) gekommen bist, ist irrelevant. Du musst nur begründen, warum damit tatsächlich die Gleichung (1) erfüllt ist.

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Ach danke passt schon, meine letzte Gleichung war falsch, das ist a^2+a=dc+e^2.

Dann kann mans einfach mit Koeffizientenvergleich lösen.

Answer 1

\(B^2=\begin{pmatrix} b^2+cd & bc+ce  \\ bd+de & bc+e^2  \end{pmatrix}\)

Korrekt ist

        \(B^2=\begin{pmatrix} b^2+cd & bc+ce  \\ bd+de & dc+e^2  \end{pmatrix}\).