Berechnen Sie A := M(α, C^, C^)! || Warum ist α eindeutig zu bestimmen || Bijektivität

Question

Sei V := ℝ³ und seien c₁ := (0, −1, 0), c₂ := (1, 0, 1) und c₃ := (0, 0, 1). Sie dürfen wissen, dass C^ :=(c₁, c₂, c₃) eine geordnete ℝ-Basis von V ist.

Jetzt sei α ein Endomorphismus von V , bei dem wir folgende Bilder kennen: (1, 0, 1)^α = (1, 0, 2), (0, 0, −1)^α = (0, 1, 1) und (0, 1, 0)^α = (0, −1, 0).

(a) Erklären Sie, warum α durch die angegebenen Bilder eindeutig bestimmt ist!
(b) Berechnen Sie A := M(α, C^,  C^)!
(c) Begründen Sie kurz, warum α bijektiv ist!
(d) Geben Sie kurz noch eine andere Erklärung fur die Bijektivität von α an.

Ich wäre schon sehr dankbar, wenn mir jemand b) zeigen könnte!^^ Bei c) müsste man glaube zeigen, das M(α, C^,  C^) vollen Rang hat und für d) wäre nochn Denkanstoß super, a) habe ich laut Vorlesung!^^

Answer 1

Hallo

 in M sind die Spaltenvektorn die Bilder der Basisvektoren. in der geordneten Basis. du musst also die abgebildeten Vektoren und die Bilder in der Basis schreiben.

etwa (1,0,1)=c2, f(c2)=(1,0,2)=c2+c3, damit ist die zweite Spalte von M( 0,1,1)

entsprechend für c1=-(0,-1,0), f(c1)=-f(0,1,0)=-c1 also erste Spalte (-1,0,0) die dritte spalte bleibt für dich.

2. Argument für c) 3 lin unabh. Vektoren, werden auf 3 Lin unabhängig. Vektoren abgebildet. das ist in R^3 eindeutig.

oder du kannst damit die eindeutige Umkehrmatrix erzeugen.

Gruß lul