Wie schreibt man hier formal? Umkehrfunktion zu f(x)=x^2

Question

\(f(x)=x^2\) hat einen Definitionsbereich \(D_f:\{x\in\mathbb{R}\}\) und Wertebereich \(W_f:\{y\in\mathbb{R}:y\geq 0\}\). Nun sollte der Definitionsbereich der Ausgangsfunktion \(f\) der Wertebereich der \(f^{-1}\) werden. Kann man das vielleicht so lösen?$$f^{-1}(x)=\begin{cases}\sqrt{x} \quad \text{für } W_{f^{-1}}:\{y\in \mathbb{R}^+\} \\ -\sqrt{x}\quad \text{für } W_{f^{-1}}:\{y\in\mathbb{R}^-\}\end{cases}$$ Sieht aber sehr schepp aus.

Aber es ist doch \(\mathbb{R}^- \cup \mathbb{R}^+=\mathbb{R}\)

Answer 1

f besitzt über dem ganzen Def. Bereich gar keine Umkehrfunktion.

Denn es ist f(-2)=f(2)=4

Da musst du dich schon entscheiden welchen Wert du

der 4 bei der Umkehrung zuordnen willst.

Üblich ist  f ^(-1) (x) = √x  mit D_f^(-1) = W_f^(-1) = [0;∞[

Comments

Ich weiß. Aber kann man so nicht vielleicht allg. die Umkehrfunktion angeben? Also für \(D_f:\mathbb{R}\)

---

allg. die Umkehrfunktion

Das Wörtchen "Funktion" darfst du in deimen Zusammenhang nicht benutzen.

Ausserdem: y kommt im Term, den du angegeben hast, gar nicht vor. Da brauchst du y auch nicht einzuschränken.

Answer 2

y = x^2
D = ℝ
W = ℝ ( + und 0 )

Umkehrfunktion
x = y^2
y = ± √ x
D = ℝ ( + und 0 )
W = ℝ

Die Umkehrfunktion ist nur leider keine Funktion mehr
da einem x-Wert 2 Funktionswerte zugeordnet werden.

Entweder
y = + √ x
oder
y = - √ x