Für welche n € N gilt n!<(n/2)^n?

Question

Für welche n elemetn N gilt:

n!≤(n/2)^n ?

wie geh ich da dran?

Ich habe so angefangen.

ZZ. (n+1)!≤((n+1)/2)^n

iV: n!≤(n/2)^n

IS: (n+1)!= n! (n+1) = (IV eingesetzt))= (n/2)^n (n+1)=( n^n(n+1))/(2^n)

irgendwie hab ich keine ahnung wie ich draufkommen soll für welche zahlen das gilt (positive zahlen nicht, 0 geht -1 nicht, -2 geht....?) und wie ich die induktion machen soll, die geht nämlich wenn man weiter rechnet nicht exakt auf. wär toll wenn jemande helfen kann....

Comments

Für Induktion braucht es immer einen Induktionsanfang.

Um auf den zu kommen ist es hier sinnvoll die natürlichen Zahlen der Reihe nach durchzuprobieren bis man eine findet, die die Ungleichung erfüllt.

Answer 1

Macht man eine Wertetabelle gilt es für n = 0 und dann vermutlich ab n = 6.

Induktionsanfang n = 6

6! ≤ (6/2)^6
720 ≤ 729

Induktionsschritt n -> n + 1

n! ≤ (n/2)^n

(n + 1)! ≤ ((n + 1)/2)^{n + 1}
n! * (n + 1) ≤ (n/2 + 1/2)^{n + 1}
(n/2)^n * (n + 1) ≤ (n/2 + 1/2)^n * (n/2 + 1/2)
(n + 1) / (n/2 + 1/2) ≤ (n/2 + 1/2)^n / (n/2)^n
2 ≤ (1 + 1/n)^n
2 ≤ 2

Comments

vielen dank für die antwort.

allerdings hänge ich an folgenden punkten:

(n + 1)! ≤ ((n + 1)/2)ⁿ⁺¹ <-- das ist doch zu zeigen?

 

IS ist: (n+1)!=n! * (n + 1)

                     = (inudktionsv. eingesetzt) = (n/2)^n (n+1)

und dann?

wie interpretiere ich dein ergebnis 2 ≤ e?

 

ganz liebe grüße und vielen dank schonmal

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(1 + 1/n)^n ist für n = 1 gleich 2 und strebt für n→∞ gegen e

Damit ist (1 + 1/n)^n >= 2 und <= e

Die letzte Zeile müsste also eher 

2 ≤ 2 lauten.

Die letzte Zeile ist also immer erfüllt und damit gilt es auch für n + 1 und damit ist die Wahrheit für n >= 6 gezeigt.

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Vielen dank, aber wie ist es mit der rechnung davor?

 

(n + 1)! ≤ ((n + 1)/2)n+1 <-- das ist doch zu zeigen, oder?

 

IS ist: (n+1)!=n! * (n + 1)

                     = (inudktionsv. eingesetzt) = (n/2)n (n+1)

und dann? wie geht es dann weiter?

 

hmm.. und als dritte frage verstehe ich leider nicht wieso du so schnell erkennst dass es für unendlich e strebt. die def. für e kenne ich aber leider kann ich das nicht wie du erkennen. :(

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Zu zeigen ist:

(n + 1)! ≤ ((n + 1)/2)^{n + 1}

Fakultät etwa vereinfachen damit ist den Induktionsanfang benutzen kann

n! * (n + 1) ≤ (n/2 + 1/2)^{n + 1}

Links den Induktionsanfang einsetzen, Rechts das Potenzgesetzt anwenden.

(n/2)ⁿ * (n + 1) ≤ (n/2 + 1/2)ⁿ * (n/2 + 1/2)

Nun alles mit hoch n auf die rechte Seite bringen und das andere nach links

(n + 1) / (n/2 + 1/2) ≤ (n/2 + 1/2)ⁿ / (n/2)ⁿ

Jetzt die Ausdrucke auf beiden Seiten vereinfachen. Wir denken daran das a^n/b^n = (a/b)^n ist.

2 ≤ (1 + 1/n)ⁿ

Nun erkennt man rechts einen Ausdruck der von 2 bis e strebt. 

2 ≤ 2

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vielen Dank :)

uns wurde gesagt dass das was zu zeigen ist nicht zum umformen genutzt werden darf. also hier wäre das das fett gedruckte.damit dürfte ich auf der rechten seite nichts einsetzen und nur durch umformung der linken seite müsste ich auf diesen ausdruck oder einen äquivalenten der auch < ist kommen.

(n + 1)! ≤ ((n + 1)/2)n + 1

 

weißt du wie ich das meine oder soll ich das anders formulieren? auf jeden fall schonmal vielen herzlichen dank!!!

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Du darfst auch die rechte seite umformen. Du darfst dort nur nicht auch noch die Induktionsvoraussetzung einsetzen. Das darfst du nur auf einer Seite machen. Aber normale Termumformungen sind ansonsten immer erlaubt.

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Was hier eventuell sein kann ist das du den Term

2 ≤ (1 + 1/n)ⁿ

noch begründen musst. Also das die rechte Seite immer größer 2 ist. Das könntest du ja mal versuchen zu zeigen über vollständige Induktion.

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echt? super vielen Dank!!! Du bist ein Mathegenie!!!


hast du vielleicht auch eine lösung für dieses Problem?ich kann bei vielen Aufgaben Teile aber das komplette überblicke ich leider nicht. ich habe es mit bernoulli versucht aber ich komme irgendwie nicht zu einem ergebnis bei a ist mir der grenzwert sehr einleuchtend aber die mathematische umformung und schreibweise nicht

https://www.mathelounge.de/63284/hilfe-konvergenz-und-grenzwert-an-1-1-n%C2%B2-n

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Lautet a) an := (1-1/n^2)^n oder an := (1-1/n^n)^n

Achte darauf das du deine Aufgaben klar formulierst und nicht widersprüchlich. So weiß ich z.B. nicht was gemeint ist.

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(1-1/n²)^n also erste variante :)

sorry kann die aufgabenstellung nicht mehr ändern :(