Bestimme alle möglichen Zahlen a und b für die gilt: ggT(a,b)=30 und kgV(a,b)=4200

Question

Aufgabe:

Für 2 natürliche Zahlen  a,b  gilt: ggT(a,b)=30 und kgV(a,b)=4200

Bestimme alle möglichen Zahlen a,b.

Benutzt werden darf: a*b= ggT(a,b)*kgV(a,b)

Problem/Ansatz:

Ich finde einfach keine Methode, wie man dies möglichst schnell berechnen kann. Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen.

LG Pete

Answer 1

Primfaktorzerlegung von a*b = 2^4 * 3^2 * 5^3 * 7

Diese muss man auf die beiden Zahlen verteilen, so dass aber 2*3*5= 30 in allen steckt,

sie aber sonst keinen gemeinsamen Primfaktor haben, sonst wäre der ggT größer, also

a=2*3*5  und  b=  2^3 * 3 * 5^2 * 7    Fall A

Das nehmen wir als Ausgangsverteilung der Primfaktoren.

eine weitere 2 bei a klappt nicht, dann wäre im ggT 2*2

eine weitere 3 bei a auch nicht, dann wäre keine 3 im ggT

eine weitere 5 bei a klappt

a=2*3*5^2  und  b=  2^3 * 3 * 5 * 7   Fall B

eine (weitere) 7 bei a klappt auch

a=2*3*5*7  und  b=  2^3 * 3 * 5^2    Fall C

zwei Primfaktoren von b nach a verlegen klappt mit der 2

a=2^3*3*5  und  b=  2 * 3 * 5^2 * 7  Fall D

eine 2 und was anderes klappt nicht (s.o.)

eine 5 und die  7 klappt

a=2*3*5^2 * 7   und  b=  2^3 * 3 * 5  das

ist aber wieder Fall D.

Also gibt es nur die Fälle ABCD.

Answer 2

Für 2 natürliche Zahlen  a,b  gilt: ggT(a,b)=30 und kgV(a,b)=4200

Bestimme alle möglichen Zahlen a,b.

Benutzt werden darf: a*b= ggT(a,b)*kgV(a,b)

Warum hast du diese Anregung nicht aufgegriffen? Da ggT(a,b) und kgV(a,b) gegeben sind, kommst du mit dieses Anregung sofort und ohne jedes Internetforum auf a*b=30*4200=126000.

Suche nun (wegen des vorgegebenen ggt)  alle durch 30 teilbaren Zahlen a und b, deren Produkt 126000 ist.

Da a und b durch 30 teilbar sein müssen, gilt a=30k und b=30n.

Damit ist a*b=30*30*k*n=126000=30*30*140.

Es muss also k*n=140 gelten, und die Anzahl der dabei zutreffenden Möglichkeiten ist überschaubar.

Comments

Würde mich mal interessieren, wie zu den Schritt k*n=140 dann die Möglichkeiten gefunden hast. Ich dann von 140 PFZ bestimmt und die jeweiligen Möglichkeiten durchgespielt,  mit der man anschließend die 140 erlangen kann. Ist das so korrekt und wie viele Möglichkeiten hast du gefunden ?

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Ich habe einfach 30*30*k*n=126000 genutzt und 126000:(30*30) gerechnet.

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Was ist   die Endgütige Anzahl, wie viele a,b lassen sich  diesen  ggt und dieses  kgv finden ? Und gibt es eine Regel/Satz der dich daraus folgern lässt. Muss das gerade auch bearbeiten ....... bitte um Hilfe