Primzahldrilling Beweis

Question

Beweisen Sie, dass es außer (3; 5; 7) keinen weiteren Primzahldrilling, d. h. drei aufeinanderfolgende ungeradeZahlen n, n + 2,n + 4, die alle Primzahlen sind gibt.

Answer 1

wenn du p, p+2 und p+4 hast mit p>3

p= 1 (mod 3) oder p= 2 (mod 3), sonst wäre ja p durch 3 teilbar.

sei p=1 (mod 3), dann ist p+2 durch 3 teilbar

sei p=2 (mod 3), dann ist (p+2)=1 (mod 3) und p+4 durch 3 teilbar.

also kann es solche Drillinge nicht geben

zeige doch zum Beispiel, dass mindestens eine von drei natrülichen Zahlen p,q,r mit 7 < r = q+2 = p+4 durch 3 teilbar sein muss.

Eine andere Möglichkeit besteht darin, dass du zeigst, dass die Zahl zwischen den beiden Primzahlen eines Primzahlzwillings p,q für p,q > 3 stets durch 6 teilbar sein muss... ein Primzahldrilling besteht dann ja insbesondere aus 2 Primzahlzwillingen, womit du einen Widerspruch erzielen kannst.

es ist:
p + (p + 2) + (p + 4) = 3*p + 6 = 3*(p + 2) => Widerspruch, natürlich mit Ausnahme von 3,5,7.

noch allgemeiner: eine ungerade Zahl ist Z = 2*k + 1 , mit k>=0.
=> 2k + 1 + 2k + 3 + 2k + 5 = 6k + 9 = 3(2k + 3)

Quelle: https://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=89912