Konvergenz einer Folge ist zu zeigen

Question

ich hänge jetzt schon seit längerer Zeit an einer Aufgabe fest. Leider fällt mir kein Weg zur Lösung ein. Ich wäre euch sehr verbunden, wenn ihr mir eine Hilfestellung oder Ähnliches für die Lösung geben könntet.

Es gelte $${ x }_{ n }\rightarrow x\quad in\quad R$$. Zeigen sie, dass:

$${ y }_{ n }\quad :=\quad \frac { 1 }{ n } \sum _{ k=1 }^{ n }{ { x }_{ k } } \overset { n }{ \longrightarrow  } x$$

Zeigen sie außerdem, dass die Rückrichtung falsch ist.

Justus

Answer 1

Es gilt dass x_k -> x wenn k -> ∞

Also hat man dass

$$\sum_{k=1}^n x_k \to \sum_{k=1}^n x= x \sum_{k=1}^n 1=nx$$