Unterraum beweisen V = R2

Question

bräuchte Hilfe bei der Aufgaben.

Aufgabe:

a) Es sei V = R²  

^und

$$U_{1}=\left\{\left( \begin{array}{c}{a} \\ {3 \cdot a}\end{array}\right) | a \in \mathbb{R}\right\}$$

Ist U₁ ein Unterraum? Argumentieren Sie zunächst grafisch und führen Sie anschließend den
Beweis (beziehungsweise die Widerlegung).

b)  Es sei V = R²

und

$$U_{2}=\left\{\left( \begin{array}{l}{1} \\ {1}\end{array}\right)-\left( \begin{array}{c}{a} \\ {3 \cdot a}\end{array}\right) | a \in \mathbb{R}\right\}$$

Ist U₂ ein Unterraum? Argumentieren Sie zunächst grafisch und führen Sie anschließend den
Beweis (beziehungsweise die Widerlegung).

Danke

Answer 1

U1 sind alle Vielfachen von (1 ; 3 )^T .   Also der von  (1 ; 3 )^T erzeugte

Unterraum von R². Grafisch: Gerade durch (0;0) mit der Steigung 3.

U2 ist keiner. Gerade geht nicht durch den Nullpunkt.

Und es ist z.B.   (1;1)^T aus U2 und (0;-2)^T aus U2,

aber deren Summe nicht.