Logarithmus: Gleichung zeigen: a hoch (logb(c) ) = c ^( logb(a))

Question

Hallo liebe Mathe Fans,

ich habe mal wieder ein Logarithmusproblem, bin gefühlt schon viel weiter gekommen, komme aber nicht auf die Schrittweise Umformung folgender Gleichung und würde diese gerne verstehen:

a^logb(c) = c^logb(a)

EDIT: Gemeint war:  a hoch  (log_b(c) ) = c ^( log_b(a))

Ist wahrscheinlich gar nicht so schwer aber ich komme mit den bekannten Gesetzen nicht drauf, ich hoffe jemand kann mir helfen :)

Braucht man den Basiswechsel?

Vielen Dank schonmal im Voraus!

Comments

Was bedeuten die Klammern? Welche Basis haben die log?

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die Basis ist b und die Klammern sind die Potenzwerte, das wurde leider nicht so schön dargestellt

Answer 1

a hoch  (log_b(c) ) = c ^( log_b(a))

bezeichne mal die Logarithmen mit x und y, also

x=log_b(c)  und y = log_b(a).

 Dann heißt das:

b^x = c    und b^y = a und was du zeigen willst ist

           a^x  =  c^y  .

Fang mal mit der linken Seite an:

a^x  und setze  b^y = a ein, also

= (b^y)^x  = b^(x*y)  [Potenzgesetz !]

Wenn du mit der rechten Seite beginnst

c^y  und setzt ein   b^x = c

= (b^x)^y  = b^(x*y)  [ s.o.]

Also kurz:

a^x   = (b^y)^x  = b^(x*y) = (b^x)^y  = c^y  q.e.d.

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danke für die gute Erklärung (thumbs up)