Ortslinie von Extrem- und Wendepunkten der Funktion fk(x):= x^{4} – kx^{2}

Question

Angegebene Funktion: x⁴ – kx²

mit k = 1 und k = 2       (x ∈ ℝ        D = ℝ      W = [\( \frac{k^2}{4} \) ; ∞ [ )

a) "Bestimmen Sie die Funktion g, die die Ortslinie aller Extrempunkte beschreibt. "

b) "Bestimmen Sie die Funktion h, die die Ortslinie aller Wendepunkte beschreibt. "

Ich habe gerechnet:

Höhepunkt = H( 0 | 0 )

Tiefpünkte = T₁(\( \sqrt{ \frac{k^2}{2} } \)   | – \( \frac{k^2}{4} \))

                     T₂(–\( \sqrt{ \frac{k^2}{2} } \)  | – \( \frac{k^2}{4} \))

Könnte jemand es mir bitte vorrechnen? Ich verstehe es nicht so ganz.. Kriege immer was komisches raus.. :/

Aber Vielen Dank schonmal im Voraus!

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- Der Wertebereich passt nicht zu den Extrempunkten.

- Der Definitionsbereich von k ist nicht angegeben.

- Für k=0 fallen alle Extrempunkte zusammen zum Tiefpunkt (0|0), einen Wendepunkt gibt es dann auch nicht.

- Die Bestimmung der Wendepunkte fehlt.

- Die Angabe k=1 und k=2 ist völlig ohne Bezug.

- Was bekommst du denn raus?

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Wie komme ich darauf?

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Hab ich in meiner Antwort vorgemacht.

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Ah Sorry. Ich hab die Wendestelle vergessen

W₁( \( \sqrt{ \frac{k^2}{6} } \) | – \( \frac{5k}{36} \) )

W₂ (–\( \sqrt{ \frac{k^2}{6} } \) | – \( \frac{5k}{36} \) )

Und k > 0

und mit k = 1 und k = 2 wollte ich sagen dass die Ortslinie durch die Funktion x^4 – kx^2 mit k = 1 : x^4 – x^2 und die Funktion wo k als 2 angegeben ist: x^4 – 2x^2

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Weitere Teilaufgaben https://www.mathelounge.de/155560/funktionsscharen-extrem-und-wendepunkte-ortslinie-fk-x-kx

Answer 1

f(x) = x^4 - k·x^2

Ortskurve der Extrempunkte

f'(x) = 4·x^3 - 2·k·x = 0 --> k = 2·x^2 → y = x^4 - (2·x^2)·x^2 = -x^4

Ortskurve der Wendepunkte

f''(x) = 12·x^2 - 2·k = 0 --> k = 6·x^2 → y = x^4 - (6·x^2)·x^2 = -5·x^4

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Vielen Vielen Dank für Ihre Antwort! Ich konnte es gut nachvollziehen.  Danke Schön!! :)))

Answer 2

a) "Bestimmen Sie die Funktion g, die die Ortslinie aller Extrempunkte beschreibt. "

f '(x)=0. Löse die erste Ableitung (=0) nach k auf und setze in die Funktionsgleichung ein.

b) "Bestimmen Sie die Funktion h, die die Ortslinie aller Wendepunkte beschreibt. "

f ''(x)=0. Löse die zweite Ableitung (=0) nach k auf und setze in die Funktionsgleichung ein.

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Oh vielen Dank für deine deutliche und verständliche Antwort :) jetzt habe ich es geschaft ! Danke :))

Answer 3

f ' (x) = 4x^3 -2kx = x* ( 4x^2 -2k) = 0

x=0 oder x = √ (k/2) .   Du hattest da was mit k^2 !!!

2. Koordinate stimmt dann wieder.

Für die Ortslinie:

x=  √ (k/2) . und y = -k^2 / 4

x^2 = k/2 und y = -k^2 / 4

2x^2 = k und y = - (2x^2)^2  / 4 = - 4x^4 / 4 =  -x^4

Also  Ortslinie y = -x^4

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Vielen Danke für die Antwort :))) Jetzt hab ich es hin gekriegt !!

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Na prima, das freut mich.

Answer 4

f (x ) = x^4 – k*x^2;
Ortskurve für k = 1 und k = 2
Extrempunkte und Wendepunkte

Üblicherweise wird eine Ortskurve für
eine ganze Kurvenschar ermittelt und nicht nur
für  k = 1 oder k = 2

f (x ) = x^4 – k * x^2
f ´( x ) = 4*x^3 - 2*k*x

Stellen mit waagerechter Tangente
4*x^3 - 2*k*x = 0
Satz vom Nullprodukt
x * ( 4x^2 - 2*k ) = 0
x = 0
und
4x^2 - 2*k = 0
x^2 = 1/2 * k
x = ± √ ( 1/2 * k )

f ( ± √ ( 1/2 * k )  =
f = (√ ( 1/2 * k )^4 - k * ( √ ( 1/2 * k )^2
f = 1/4 * k^2 - 1/2 * k ^2
y = - 1/4 * k^2

( x | y )
(  ± √ ( 1/2 * k ) | - 1/4 * k^2 )

x = √ ( 1/2 * k )
Nach k umstellen
k = x^2 * 2
y = - 1/4 * k^2
k einsetzen
ort ( x ) = - 1/4 * ( x^2 * 2) ^2
ort ( x ) = - x^4

Bei Bedarf nachfragen.