x^7+3x^6-9x^5-23x^4-12x^3 in Linearfaktoren zerlegen. Woher weiß ich, was die doppelte Nullstelle ist?

Question

Aufgabe:

x^7+3x^2-9x^5-23x^4-12x^3 in Linearfaktoren zerlegen.. Woher weiß ich was die doppelte Nullstelle ist?

EDIT: x^7+3x^6-9x^5-23x^4-12x^3

Comments

Eine doppelte Nullstelle ist offenbar x=0, denn x^2 lässt sich ausklammern.

Answer 1

Ich vermute mal, es sollte x⁷+3x⁶-9x⁵-23x⁴-12x³ heißen. Dann lautet die Zerlegung in Linearfaktoren x³(x-3)(x+4)(x+1)². Die Exponenten der Linearfaktoren nennen die Vielfachheit der zugehörigen Nullstelle. Dann ist x=-1 doppelte Nullstelle

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Kommentar des Fragestellers gestern Nacht.

ups x^7+3x^6-9x^5-23x^4-12x^3

Answer 2

Konzentriere dich auf die Zahlen und versuche Zusammenhänge zu erkennen:$$0=x^7+3x^6-9x^5-23x^4-12x^3$$$$0=x^3(x^4+3x^3-9x^2-23x-12)  \Longrightarrow x_{1,2,3}=0$$$$0=x^4+3x^3-9x^2-23x-12$$ Jetzt musst du etwas rumprobieren (aufm Schmierblatt). Wenn du die einzelnen Glieder clever "aufsplittest":$$0=x^4+x^3+2x^3+2x^2-11x^2-11x-12x-12$$ Und jetzt kannst du ausklammern:$$0=x^3(x+1)+2x^2(x+1)-11x(x+1)-12(x+1)$$$$0=(x+1)(x^3+2x^2-11x-12)$$ Probiere mal eine Methode zu finden, hier wieder "clever" aufzusplitten, um einen Linearfaktor auszuklammern.

Comments

in meiner lösung steht, dass bei x=-1 eine doppelte nullstelle ist

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Überprüfe dann nochmal deine Funktionsgleichung. Für diese, die du in deiner Antwort hast, ist das falsch, da zwar \(f(-1)=0\) aber \(f'(-1)=12 \neq 0\).

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ups x^7+3x^6-9x^5-23x^4-12x^3

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Au weia, ich bin raus! :-(

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hier ist tatsächlich auch \(-1\) eine doppelte Nullstelle.

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Und das erkenne ich wie?

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Ich werde meine Antwort gleich updaten!

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Danke dir :)

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Das geht leider nicht nach Schema F, sonst ist mir kein Trick bekannt.

Answer 3

Für eine mindestens doppelte Nullstelle muss \(f(x)=f'(x)=0\) gelten.