Leute! Seit gestern versuche ich eine Aufgabe meines Übungsblattes zu bearbeiten jedoch komme ich überhaupt nicht weiter. Ich hoffe, mir kann jemand helfen.
Aufgabe:
$$ \text{Sei}\; \mathbb{K}\; \text{ein Körper und}\; A:= \{ c + xg(x,y)\, \vert \; c \in \mathbb{K}, g(x,y) \in \mathbb{K}[x,y]$$
$$\text{Zeigen Sie, dass die Kette}\; I_{1} \subset I_{2} \subset \ldots\; \text{von Idealen in}\; \mathbb{K}[x,y]\, \text{mit}\; I_{n}:= \langle x,xy,xy^2, \ldots, xy^{n} \rangle\; \text{nicht stationär wird.}$$
Problem/Ansatz:
$$ \text{Ein Tipp zu der Aufgabe habe ich bekommen. Und zwar muss man zeigen, dass}\;xy^{n+1} \in I_{n+1}\setminus I_n$$.
Aber ich weiß nicht, wie ich das zeigen soll.
Mein Ansatz war folgender:
$$I_{n + 1} = \left \{ \sum\limits_{j = 1}^{n + 1} (c_{i} + x \cdot g_{i}(x,y)) \cdot xy^{i}\; \vert\; g_{i}(x,y) \in \mathbb{K}[x,y], xy^{i} \in M_{n} := \{ x, xy, xy^2, \ldots, xy^{n + 1} \} \right \}$$
$$ = \left \{ x \cdot \sum\limits_{j = 1}^{n + 1} (c_{i} + x \cdot g_{i}(x,y)) \cdot y^{i}\; \vert\; g_{i}(x,y) \in \mathbb{K}[x,y], xy^{i} \in M_{n} := \{ x, xy, xy^2, \ldots, xy^{n +1 } \} \right \} $$
$$\text{Sei nun}\; f \in I_{n + 1}$$.
$$\text{Dann lässt sich f schreiben als}\; f (x,y) = x \cdot \underbrace{\sum\limits_{j = 1}^{n + 1} (c_{i} + x \cdot g_{i}(x,y)) \cdot y^{i}}_{:= z(x,y)} = x \cdot z(x,y)$$
$$\text{Wir wissen aus der obigen Darstellung, dass}\; z(x,y) \;\text{Wir wissen aus der obigen Darstellung, dass } \; z(x,y)\; \text{eine Funktion ist, bei der man ein x ausklammern kann. Also ist}\; z(x,y) \neq y\;.$$
$$\text{Also ist}\; xy^{n + 1} \notin I_{n + 1}$$
Aber irgendwie bin ich damit nicht zufrieden und vielleicht ist das auch falsch.
Kann mir da jemand helfen? Bin langsam am Verzweifeln.
Wäre euch sehr dankbar.
