Höchsteinsatz im Casion 1.000.000€ wie oft darf sein einsatz von 5€ verdoppelt werden

Question

jemand fängt mit 5 Euro am Roulett-Tisch an und verdoppelt bei einem Verlust immer seinen Einsatz.

Der Höchsteinsatz beträgt 1.000.000€. Wie oft darf er maximal falsch setzen damit sein Plan noch aufgeht.

 Die Antwort ist a17.

Bei der Geometrischen Reihe nehme ich also

 

a_n=a₁*q^n-1

a₁₇=5*2^17-1= 5*65536 = 327.680

Wie komme ich auf A17???

Answer 1

Nun, beim 17. Mal muss er 327680 Euro setzen. Wenn er dann verliert, hat er insgesamt bereits 

∑¹⁷_n=1 a_n = 655355

Euro verspielt, kann also nicht mehr verdoppeln.

Comments

Genau,..die 327.680 muss ich ja ermitteln bzw. die a17.

Hier auch meine Frage wie komme ich rechnerisch auf a17 (327.680€ ist ebenfalls eine unbekannte)

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Sorry, ich hatte deine Frage offenbar nicht richtig verstanden (mein Fehler).

Wie also kommt man auf n = 17?

Nun, man muss die größte natürliche Zahl n finden, für die die n-te Partialsumme der Reihe

∑ⁿ_k=1 a_k = ∑ⁿ_k=1 5 * 2 ^{k - 1} = 5 * ∑ⁿ_k=1 2 ^{k - 1}

noch kleiner als 1000000 ist.

Dazu benötigt man eine Formel, die für alle n den Wert der n.-ten Partialsumme der Reihe

∑ⁿ_k=1 2 ^{k - 1}

angibt. Diese Formel lautet:

∑ⁿ_k=1 2 ^{k - 1} = 2 ⁿ - 1

Also:

5 * ∑ⁿ_k=1 2 ^{k - 1} < 1000000

<=> ∑ⁿ_k=1 2 ^{k - 1} < 200000

<=> 2 ⁿ - 1 < 200000

<=> 2 ⁿ < 199999

<=> n < ln (199999) / ln(2) = 17,609

n muss also kleiner als 17,609... sein und da n eine natürliche Zahl sein muss, darf n also höchstens 17 sein.