Die Polynomdivision funktioniert im Wesentlichen genauso wie die normale schriftliche Division. Der Unterschied ist, dass man es nicht mit Zahlen sondern mit Termen zu tun hat.
( x 2 + 2 x + 1 ) : ( x + 1 ) =
Wie oft "passt" der Divisor ( x + 1 ) in den Term ( x ² + 2 x + 1) ?
Nun, ungefähr x mal. Also notiert man im Ergebnis x
( x 2 + 2 x + 1 ) : ( x + 1 ) = x
und subtrahiert x * ( x + 1 ) = x ² + x von dem Dividenden x ² + 2 x + 1:
( x 2 + 2 x + 1 ) : ( x + 1 ) = x
- ( x ² + x )
-------------
x
Man erhält den Rest x. Nun zieht man den nächsten Summanden aus dem Dividenden herunter:
( x 2 + 2 x + 1 ) : ( x + 1 ) = x
- ( x ² + x )
-------------
x + 1
und stellt sich wieder die Frage: Wie oft passt der Divisor x + 1 in den Term x + 1 ?
Nun, offensichtlich genau 1 mal. Also notiert man + 1 im Ergebnis:
( x 2 + 2 x + 1 ) : ( x + 1 ) = x + 1
- ( x ² + x )
-------------
x + 1
und subtrahiert 1 * ( x + 1 ) = x + 1 von dem Rest Dividenden x + 1:
( x 2 + 2 x + 1 ) : ( x + 1 ) = x + 1
- ( x ² + x )
-------------
x + 1
- ( x + 1 )
-------------
0
Da von dem ursprüngliche Dividenden x 2 + 2 x + 1 nun nichts mehr übrig ist, ist man fertig. Und da sich am Ende der Rest 0 ergeben hat, ist die Polynomdivision ohne Rest aufgegangen.
Es gilt also:
( x 2 + 2 x + 1 ) : ( x + 1 ) = x + 1
bzw.
( x 2 + 2 x + 1 ) = ( x + 1 ) * ( x + 1 ) = ( x + 1 ) 2
