Jacobimatrix, Kettenregel im R^3

Question

Gegeben sind

F(r,φ,θ)=\( \begin{pmatrix} r×cosφ×cosθ \\ r×sinφ×cosθ \\ r×sinθ\end{pmatrix} \)

r_ψ(x,y,z)=\( \begin{pmatrix} cosψ & -sinψ & 0\\ sinψ & cosψ & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \) × \( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} \)

Zu berechnen ist die Jacobimatrix der Verknüpfung:

G=r_ψ • F(r,φ,θ)

Die Jacobimatrizen der beiden einzelnen Funktionen habe ich schon berechnet und weiß auch, dass ich mit

(r_ψ • F)'(r,φ,θ) = r_ψ'(F(r,φ,θ))×F'(r,φ,θ) zum Ergebnis komme, wie setze ich aber die Funktion F in r_ψ' ein, wenn ich darin keine Variablen außer dem ψ habe?

Meine Jacobimatrizen sind:

F'(r,φ,θ)=\( \begin{pmatrix} cosφ×cosθ & -r×sinφ×cosθ &-r×cosφ×sinθ \\ sinφ×cosθ & r×cosφ×cosθ &-r×sinφ×sinθ\\ sinθ & 0 & r×cosθ\end{pmatrix} \)

r_ψ'(x,y,z)=\( \begin{pmatrix} cosψ & -sinψ & 0\\ sinψ & cosψ & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Jacobimatrix, Kettenregel im R^3

Stichworte: matrix,kettenregel,mehrdimensional

Ich habe zwei Funktionen F(r,φ,θ) und r_ψ(x,y,z).
Die Jacobimatrizen zu den einzelnen Funktionen habe ich bereits berechnet und aufgeschrieben, es fehlt noch die Verknüpfung:

G = r_ψ o F.

Die Kettenregel laut Skript besagt (f o g)'(x₀) = f'(z₀)*g'(x₀).

Bedeutet das in meinem Fall, dass ich in meine Matrix r_ψ' (x,y,z) für ψ den entsprechenden Wert der Matrix F'(r,φ,θ) einfüge und diese dann noch mit F' multipliziere?

(Für das f'(z₀) aus der Kettenregel stände bei mir dann an der Stelle 1,1 der Matrix cos(cos(φ)cos(θ))?)

Gruß und danke für die Hilfe

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Ist im Prinzip nochmals https://www.mathelounge.de/644507/jacobimatrix-kettenregel-im-r-3 oder?

( Ich sehe schon, dass dort noch niemand reagiert hatte und weiss auch nicht, warum )

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wie setze ich aber die Funktion F in rψ' ein, wenn ich darin keine Variablen außer dem ψ habe?

Das ist deine Hauptfrage, nehme ich an.

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Ja richtig, darauf hat noch keiner geantwortet und dann dachte ich, ich tippe es noch ein mal ordentlich ab.

Und genau, das Einsetzen ist die Hauptfrage.

Answer 1

Aloha :)

Mir ist die Frage nicht genau klar. Die Jacobi-Matrix von \(r_\Psi(x,y,z)\) ist eine Konstante, die nur vom Parameter \(\Psi\) abhängt. Da kannst du also nichts einsetzen. Im Prinzip musst du die beiden Jacobi-Matrizen nur multiplizieren.

Comments

Genau das war mir auch nicht klar, wenn ich keine (x,y,z) in meiner Matrix habe, kann ich die Funktion F dort auch nicht einsetzen.

Danke :)