Ist die Ellipsenfläche messbar in der Ebene?

Question

Aufgabe:

Ist die Ellipsenfläche x²+2y²<=1 messbar in der Ebene?

Problem/Ansatz:

Ich habe folgendes probiert:

Sei B derjenige Teil einer Ellipsenfläche um den Nullpunkt. Es soll das Integral (B - als untere Grenze) x²+2y² dμ_2 berechnet werden. Rand von B ist durch Gleichung x²/a² + y²/b² =1 x=0 y=0

B ist der Normalbereich bezüglich der x-Achse.

Bei der Berechnung dieses Integrals habe ich jedoch Schwierigkeiten, da es eine ewige Herumrechnerei gibt.

Gibt es auch noch andere Wege diese Aussage zu belegen bzw. zu widerlegen, je nachdem ob sie richtig oder falsch ist?

Comments

1. Darfst du bei "Messbarkeit" die Variabeln ändern und z.B. Sinus und Cosinus verwenden?

2. Was hast du denn als Metrik?

Gibt es auch noch andere Wege diese Aussage zu belegen bzw. zu widerlegen, je nachdem ob sie richtig oder falsch ist?

3. Aussage wäre: " Ellipsenfläche x²+2y²<=1 ist messbar in der Ebene". Oder was?

Genügt für "messbar" die Antwort "endliche Fläche"  oder welche Eigenschaften brauchen "messbare Flächen"?

Answer 1

Die Ellipse ist der mit dem Faktor $\sqrt{\frac{1}{2}}$ entlang der senkrechten Halbachsen gestauchte Einheitskreis. Sie hat also die Fläche $\sqrt{\frac{1}{2}}$π.

Comments

Danke für deine schnelle Antwort!

Ist der Faktor immer Wurzel (1/2) oder nur bei dieser Gleichung?

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Nur bei dieser Gleichung. Der Faktor ergibt sich aus einer Betrachtung der Halbachsen (hier x=1, y=√(1/2)).

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Aber wie komme ich jetzt konkret auf x und y?

Irg. wie kappier ich das noch nicht so richtig :/

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Wie du selbst schreibst ist x²/a² + y²/b² =1 eine Ellisengleichung. Darin  sind x=a und y=b die Halbachsen (genauer: Schnittstellen der Ellipse mit den Achsen).

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Verdeutlichung: