Integration: Warum fällt x^2 bei der Substitution weg?

Question

Integralrechnung durch Substitution:

$$\int\limits_{}^{} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}+1}}  dx$$

$$z= x^{3}+1$$

Ableitung von z:

$$  \frac{d z}{d x}=3 x^{2} $$

Nach dx umstellen:

$$ d x=\frac{d z}{2 x^{2}}$$

Nun dx in das Integral einsetzen und das Integral lösen:

$$ \int\limits_{}^{}  \frac{x^{2}}{\sqrt{z}} \cdot \frac{d z}{3 x^{2}}$$ 

Wie komme ich an der Stelle weiter?

Answer 1

Du kannst doch bei deinem Letzen schritt x^2 kürzen und du erhältst

∫ 1/(3·√z) dz

= ∫ 1/3·z^(-1/2) dz

= 2/3·z^(1/2) + C

= 2/3·√z + C

Jetzt solltest du noch resubstituieren.

Comments

Super, danke. Rücksubstitution ist gemacht und verstanden.

Allerdings komme ich nicht drauf wie du von 2. auf den 3. das Integral von 1/3·z^(-1/2) dz berechnen konntest, somit das Integral Zeichen und dx wegfällt.

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Potenzregel

∫ x^n dx = 1/(n + 1)·x^(n + 1) + C

Answer 2

kürze x^2

dann bekommst Du:

=1/3 ∫ dz/√z