Wie löse ich nach L auf? c * L/(1-L) = (1-a)(1-t)

Question

Aufgabe Makroökonomie:

c * L/(1-L) = (1-a)(1-t)

Wie löse ich nach L auf?

Answer 1

Wie löse ich nach L auf? Bitte ausführlich, wenn möglich.

Ok, meine ausführliche – und zugleich sehr kurze – Rechnung ist diese:

$$\begin{aligned} c\cdot\dfrac{L}{1-L} &= (1-a)(1-t)\quad\vert\; :c \\[15pt] \dfrac{L}{1-L} &= \dfrac{(1-a)(1-t)}{c} \\[10pt] \text{simult. Add. }&\text{der Zähler zu den Nennern:} \\[15pt] L &= \dfrac{(1-a)(1-t)}{c+(1-a)(1-t)}. \end{aligned}$$Das sind genau zwei Umformungen.

Comments

Für was steht "simult."? simultaneous?

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Das war ein Fehler meinerseits, es muss "korrespondierende Addition bzw. Subtraktion" heißen.

vgl. etwa den Artikel "Verhältnisgleichungen" auf Lernhhelfer.de.

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Dein Streben nach möglichst schrittkleiner Unformung lohnt sich praktisch nur, wenn du die "Tricks" internalisiert hast und ohne darüber nachzudenken anwendest.

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Ja, aber da sich sehr viele Zusammenhänge durch Verhältnisgleichungen beschreiben lassen und diese Gleichungsform daher verhältnismäßig oft vorkommt, finde ich die korrspondierenden Umformungen sehr nützlich, zumal, wie im vorliegenden Beispiel, nicht nur die Rechnung sehr kurz, sondern auch noch das Ergebnis schön einfach ist.

Die wenigen Regeln sind leicht zu verstehen und anzuwenden und finden sich in älteren Schulbüchern zur Mittelstufenmathematik.

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Heißt das ich ergänze oben auch mit (1-L) und kürze dann beides weg, damit nur noch L steht und muss dann auch auf der anderen Seite mit (1-t) (1-a) erweitern?

Danke für die Antwort !:)

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Nein, ich habe tatsächlich nur auf beiden Seiten die jeweiligen Zähler zu den jeweiligen Nennern addiert. Der Nenner auf der linken Seite wird dann zu 1, sodass er weggelassen werden kann.

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oh okay, jetzt hab ich es verstanden. Danke :)

Answer 2

Aloha :)

$$\left.c\cdot\frac{L}{1-L}=(1-a)(1-t)\quad\right|\;:c$$$$\frac{-(1-L)+1}{1-L}=\frac{(1-a)(1-t)}{c}$$$$\left.-1+\frac{1}{1-L}=\frac{(1-a)(1-t)}{c}\quad\right|\;+1$$$$\frac{1}{1-L}=\frac{(1-a)(1-t)}{c}+1$$$$\left.\frac{1}{1-L}=\frac{(1-a)(1-t)+c}{c}\quad\right|\;\text{Kehrwert}$$$$\left.1-L=\frac{c}{(1-a)(1-t)+c}\quad\right|\;-1$$$$\left.-L=\frac{c}{(1-a)(1-t)+c}-1\quad\right|\;\cdot(-1)$$$$L=1-\frac{c}{(1-a)(1-t)+c}$$

Answer 3

Sorge z.B. dafür, dass du irgendwann L ausklammern kannst und dann nur noch ein L in der Gleichung hast.

c * L/(1-L) = (1-a)(1-t)             | : ((1-a)(1-t)) , * (1-L)

c / ((1-a)(1-t)) * L = 1- L            | + L

c / ((1-a)(1-t)) * L      + 1 * L  = 1       | L ausklammern

( c / ((1-a)(1-t))      + 1)  * L  = 1       | : Klammer links

L = 1 / ( c / ((1-a)(1-t))      + 1)

Wenn du willst, kannst du rechts mit Bruchrechenregeln noch alles auf einen Bruchstrich bringen.