Aloha :)
Eine Polynomfunktion 3-te Grades hat die Form:$$p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$Ihre erste und zweite Ableitung sind:
$$p'(x)=3ax^2+2bx+c$$$$p''(x)=6ax+2b$$
Die 4 Unbekannten \(a,b,c,d\) musst du nun mit Hilfe der "Personenbeschreibung" finden. Ich empfehle, bei den höchsten Ableitungen anzufangen und sich dann bis zur Funktionsgleichung durchzuarbeiten.
(1) Die Funktion hat den Wendepunkt \(W(-1;2)\). Das bedeutet formal:$$0=p''(-1)=6a\cdot(-1)+2b=-6a+2b\quad\Rightarrow\quad6a=2b\quad\Rightarrow\quad \underline{b=3a}$$
(2) Im Punkt \(P(1;4)\) hat die Kurve eine Tangente mit der Steigung 9. Bedeutet formal:$$9=p'(1)=3a+2b+c=3a+2\cdot\underbrace{3a}_{=b}+c=9a+c\quad\Rightarrow\quad \underline{c=9-9a}$$Jetzt haben wir alle Ableitungen durchgearbeitet und haben nur noch 2 Punkte für \(p(x)\). Allerdings können wir nun schon 2 Variablen aus \(p(x)\) ersetzen:$$p(x)=ax^3+\underbrace{3a}_{=b}\cdot x^2+\underbrace{\left(9-9a\right)}_{=c}\cdot x+d=ax^3+3ax^2+9(1-a)x+d$$Jetzt setzen wir den Punkt \(W(-1;2)\) ein:$$(3)\;2=p(-1)=-a+3a-9(1-a)+d=11a+d-9\quad\Rightarrow\quad \underline{d=11-11a}$$Und schließlich noch der letzte Punkt \(P(1;4)\):$$(4)\;4=p(1)=a+3a+9(1-a)+\underbrace{11-11a}_{=d}=-16a+20\quad\Rightarrow\quad 16a=16\quad\Rightarrow\quad \underline{a=1}$$
Also haben wir \(a=1,b=3,c=0,d=0\) und die Lösung lautet:$$p(x)=x^3+3x^2$$
