Aloha :)
Ein Vektorraumhomomorphismus ist nur ein ungebräuchliches Wort für lineare Abbildung. In deiner Aufgabe wird der Polynomring \(\mathbb{R}[x]_{\le3}\) aller Polynome vom Grad \(\le 3\) auf den Polynomring \(\mathbb{R}[x]_{\le2}\) aller Polynome vom Grad \(\le 2\) abgebildet. Die Vorschrift dazu lautet: \(p\to p^\prime + p^{\prime\prime}\). Für die Elementarpolynome heißt das:$$\begin{array}{l}\\1&\to&0\\x&\to&1\\x^2&\to&2x+2\\x^3&\to& 3x^2+6x\end{array}$$Oder wenn man die Polynome voll ausschreibt:$$\begin{array}{l}1\cdot x^0+0\cdot x^1+0\cdot x^2+0\cdot x^3 &\to& 0\cdot x^0+0\cdot x^1+0\cdot x^2\\0\cdot x^0+1\cdot x^1+0\cdot x^2+0\cdot x^3 &\to& 1\cdot x^0+0\cdot x^1+0\cdot x^2\\0\cdot x^0+0\cdot x^1+1\cdot x^2+0\cdot x^3 &\to& 2\cdot x^0+2\cdot x^1+0\cdot x^2\\0\cdot x^0+0\cdot x^1+0\cdot x^2+1\cdot x^3 &\to& 0\cdot x^0+6\cdot x^2+3\cdot x^2\end{array}$$Oder wenn man nur die Koeffizienten in Vektoren einträgt:$$\begin{array}{l}(1,0,0,0)&\to& (0,0,0)\\(0,1,0,0)&\to&(1,0,0)\\(0,0,1,0)&\to&(2,2,0)\\(0,0,0,1)&\to&(0,6,3)\end{array}$$Damit lässt sich die lineare Abbildung durch folgende Matrix realisieren (die Bilder der Elementarpolynome als Spalten eintragen):$$\left(\begin{array}{c}0 & 1 & 2 & 0\\0 & 0 & 2 & 6\\0 & 0 & 0 &3\end{array}\right)$$Du sollst nun die Transformation am Beispiel des Polynoms \(p(x)=1+x+x^2+x^3\) bzw. anhand des Vektors \((1,1,1,1)\) durchführen:
$$\left(\begin{array}{c}0 & 1 & 2 & 0\\0 & 0 & 2 & 6\\0 & 0 & 0 &3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\8\\3\end{array}\right)$$Und tatsächlich ist \(p^\prime(x)+p^{\prime\prime}(x)=(1+2x+3x^2)+(2+6x)=3x^2+8x+3\).
