Wir schreiben uns mal das pascalsche Dreieck auf:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
Wenn n ungerade ist und wir somit eine gerade Anzahl an Summanden haben, ist die Summe aufgrund der Symmetrie genau 0.
Was ist aber wenn n gerade ist und wir also eine ungerade Anzahl an Summanden haben. Dazu schauen wir uns mal die Zeilen mit einer ungeraden Anzahl an Zahlen an. Hier ist nun aber die Summe aller Zahlen auf ungeraden Plätzen gleich der Summe auf den graden Plätzen. Daher ist auch hier die Summe wieder genau Null.
Warum ist das jetzt so. Schauen wir uns dazu die zwei nächsten Zeilen an
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
Zu zeigen ist warum die Summe der roten Zahlen genau die Summer der blauen Zahlen ergibt.
Die blauen Zahlen bilden jeweils die Summe aus immer 2 Zahlen der darüberliegenden Zeile. Die beiden roten 15en bilden auch die Summe aus jeweils 2 darüber liegenden Ziffern. Die einzigen Zahlen die jetzt noch nicht addiert worden sind sind die beiden 1en. Diese werden jedoch nicht als Summe sondern einzeln in die nächste Zeile übernommen.
Damit ist in jeder Zeile die Summe der Zahlen doppelt so groß wie die Summe der vorangegangenen Zeile.
