Trapezregel Überlegung verdopplung x

Question

ich habe folgende Aufgabe gestellt bekommen:

eine naheliegende Lösung bei der Trapezregel wäre, das Intervall zu verkleinern, also z.B. statt [0,2] lieber [0,1] betrachten und dafür statt über f(x) über f(2x) zu integrieren. Dies hilft leider nicht. Wieso?

Leider weiß ich nicht, wieso es nichts bringt.

Ich würde mich über Ideen freuen:)

Answer 1

Aloha :)

Die Trapez-Näherung im Intervall \([0;2]\) lautet bei \(n\) äquidistanten Stützstellen mit \(\Delta x=\frac{2-0}{n}\):$$\int\limits_0^2f(x)dx\approx\Delta x\left(\sum\limits_{i=0}^nf(i\Delta x)-\frac{f(0)+f(2)}{2}\right)$$$$\phantom{\int\limits_0^2f(x)dx}=\frac{2}{n}\left(\sum\limits_{i=0}^n f\left(\frac{2i}{n}\right)-\frac{f(0)+f(2)}{2}\right)$$Die Trapez-Näherung bei Stauchung des Intervalls auf \([0;1]\) und Verdopplung auf \(2x\) lautet bei \(n\) äquidistanten Stützstellen mit \(\Delta x=\frac{1-0}{n}\):$$\int\limits_0^1f(2x)dx\approx2\Delta x\left(\sum\limits_{i=0}^nf(2\cdot i\Delta x)-\frac{f(0)+f(2\cdot1)}{2}\right)$$$$\phantom{\int\limits_0^1f(2x)dx}=\frac{2}{n}\left(\sum\limits_{i=0}^n f\left(\frac{2i}{n}\right)-\frac{f(0)+f(2)}{2}\right)$$Kein Unterschied ;)

Comments

Hi, fehlt in der Formel für die Trapez Näherung nicht noch eine Multiplikation mit der Intervallbreite? Oder ist mit \( \approx \) Zeichen, proportional gemeint. Ich hab das immer als ungefähr Zeichen benutzt. Oder hab ich was übersehen?

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Hallo ullim :)

Danke für deinen Hinweis!

Ich war das wohl etwas unsauber, korrigiere das direkt.

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Entschuldigung, wenn ich noch mal nachfrage. Bei der Integration über dem Intervall \( [0,1] \) ist die Intervallbreite \( \Delta x = \frac{1}{n} \). Woher kommt die \( 2 \) vor dem \( \Delta x \) in der zweiten Formel?

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Weil du überall, wo \(x\) steht, \(2x\) eintragen musst. Das Intervall \(\Delta x\) wird um den Faktor 2 gestaucht, weil die Integralobergrenze halbiert wird. Dafür wird aber in Schritten von \(2\Delta x\) gelaufen, um die ursprüngliche Obergrenze in \(n\) Schritten wieder erreichen zu können.

Answer 2

Zunächst mal staucht f(2x) den Graphen der Funktion f(x) mit dem Faktor 1/2 in Richtung der x-Achse. Damit Bleibt das Integral gleich, wenn dieses ebenfalls mit dem Faktor 1/2 gestaucht wird.

Um die Genauigkeit beizubehalten mussten dann auch die Trapeze gestaucht werden. Lässt man die Hohe der Trapeze unverändert halbiert man sogar die Anzahl der Trapeze und die Näherung wird ungenauer.