Normalverteilung (Standardabweichung)

Question

Aufgabe:

In einer seiner  Untersuchungen hat Lambert Adolphe Jacques QUETELET (1796-1874)

festgestellt,dass schottische Soldaten einen mittleren Brustumfang von 40 Zoll haben und die Standardabweichung 2 Zoll beträgt.

Problem/Ansatz:

1.) Es ist zu überprüfen,ob ein schottischer Soldat mit 50 Zoll Brustumfang zu den 20% Soldaten mit größtem Brustumfang zählt.

2.) Wie groß muss der Brustumfang eines schottischen Soldaten mindestens sein,damit dieser zu den 20% Soldaten mit größtem Brustumfang zählt ?

Kann mir jemand mit einer ausführlichen Antwort weiterhelfen? Vielen Dank im Voraus !

Answer 1

1.) Es ist zu überprüfen,ob ein schottischer Soldat mit 50 Zoll Brustumfang zu den 20% Soldaten mit größtem Brustumfang zählt.

1 - NORMAL((50 - 40)/2) = 2.866513900·10^(-7)
Damit zählt er sogar zu den 1% mit größtem Brustumfang.

2.) Wie groß muss der Brustumfang eines schottischen Soldaten mindestens sein,damit dieser zu den 20% Soldaten mit größtem Brustumfang zählt ?

1 - NORMAL((x - 40)/2) = 0.2 --> x = 41.68 Zoll

Skizze:

Answer 2

Aloha :)

Die Werte zur Standard-Normalverteilung \(\Phi(z)\) mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1 findet man in Tabellen oder sie können von vielen Taschenrechnern bestimmt werden. Der Wert \(\Phi(z)\) gibt an, welcher Anteil eines Merkmals (hier Brustumfang) von der Gesamtmenge (hier alle Soldaten) unterhalb des Wertes von \(z\) liegt. Das Problem ist daher, deine Situation auf ein Problem zu transformieren, das Mittelwert 0 und Standardabweichung 1 hat, damit du diese \(\Phi(z)\)-Tabellen nutzen kannst. Das funktioniert mit der \(z\)-Transformation, \(z:=\frac{x-\mu}{\sigma}\) sehr schnell.

Mittlerer Brustumfang \(\mu=40\), Standardabweichung \(\sigma=2\), interessanter Wert \(x=50\)

$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{50-40}{2}=5\;\;\Rightarrow\;\;\Phi(z=5)=0,999999713$$Der Soldat mit 50 Zoll Brustumfang gehört zu den 99,9999713% "breitesten" von allen!

Im zweiten Teil der Frage geht es umgekehrt. Du hast jetzt den \(\Phi\)-Wert gegeben und sollst zunächst das passende \(z\) bestimmen (aus Tabelle ablesen oder mit TR):

$$\Phi(z)\stackrel{!}{=}0,8\;\;\Leftrightarrow\;\;z=0,841621$$und musst diesen z-Wert, der sich ja auf die Standard-Normalverteilung bezieht, wieder auf dein Problem zurück transformieren:

$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}\;\;\Leftrightarrow\;\;x=\sigma\cdot z+\mu\quad\Rightarrow\quad x=2\cdot0,841621+40\approx41,68$$