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Von E(X) und Var(X) zur Normalverteilung
Die Angabe von Erwartungswert \(E(X)\) und Varianz \(Var(X)\) einer Zufallsvariable \(X\) erlaubt es uns, eine Normalverteilung genau zu charakterisieren, falls angenommen wird, dass \(X\) normalverteilt ist. Eine Normalverteilung wird vollständig durch zwei Parametern definiert: ihren Mittelwert \(\mu\) (der dem Erwartungswert \(E(X)\) entspricht) und ihre Varianz \(\sigma^2\) (die \(Var(X)\) entspricht). Die entsprechende Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) einer normalverteilten Zufallsvariable sieht wie folgt aus:
\(
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
\)
Anwendung auf das Beispiel:
Gegeben:
- Erwartungswert \(E(X) = \mu = 34\)
- Varianz \(Var(X) = \sigma^2 = 179,2\)
Wir setzen diese Werte in die charakterisierende Formel einer Normalverteilung ein. Zuerst müssen wir jedoch die Standardabweichung \(\sigma\) bestimmen, da die Varianz \(\sigma^2\) gegeben ist und die Formel die Standardabweichung erfordert. Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz, also \(\sigma = \sqrt{Var(X)}\).
Rechnung für die Standardabweichung \(\sigma\):
\(
\sigma = \sqrt{179,2} \approx 13,38
\)
Somit haben wir jetzt beide Parameter für die Normalverteilung:
- \( \mu = 34 \)
- \( \sigma \approx 13,38 \)
Mit diesen Parametern können wir nun sagen, dass \(X\) normalverteilt ist mit \(X \sim N(34, 179,2)\), oder präziser ausgedrückt, \(X \sim N(34, 13,38^2)\).
Zusammenfassung:
Die Normalverteilung von \(X\), gegeben \(E(X) = 34\) und \(Var(X) = 179,2\), ist eine Normalverteilung mit einem Mittelwert (Erwartungswert) von 34 und einer Standardabweichung von ca. 13,38. Dies bedeutet, dass die Zufallsvariable \(X\) um den Mittelwert 34 streut, mit einem Maß der Streuung (Variabilität), das durch die Standardabweichung von ungefähr 13,38 beschrieben wird.
