Aufgabe:
Ich möchte diese Funktion auf Stetigkeit überprüfen. Ich habe auch die Lösung im Ansatz mitgegeben, die ich gerne verstehen würde.
Im Ansatz sind die Stellen, die in Klammern formuliert sind meine Unverständisse, die gerne geklärt hätte.
$$f : \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{1}{x}$$
Problem/Ansatz
$$\left|x_{0}\right|=\left|x_{0}-x+x\right|<\delta+|x| \Longleftrightarrow|x|>\left|x_{0}\right|-\delta$$
gilt für$$\delta<\frac{\left|x_{0}\right|}{2}$$
(1.Wie kann ich annehmen, dass $$\delta<\frac{\left|x_{0}\right|}{2}$$ ist)
(2. warum folgt daraus $$|x|>\frac{\left|x_{0}\right|}{2}$$)
$$\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|=\frac{\left|x_{0}-x\right|}{|x|\left|x_{0}\right|}<\frac{2\left|x_{0}-x\right|}{\left|x_{0}\right|^{2}}<\frac{2 \delta}{\left|x_{0}\right|^{2}}<\varepsilon$$
(3.woher kommt die 2 bei $$<\frac{2\left|x_{0}-x\right|}{\left|x_{0}\right|^{2}}$$ und wieso koennen wir x durch x0 ersetzen, wodurch die x02 entsteht woraus hatten wir das gefolgert?)
$$\delta<\frac{\varepsilon\left|x_{0}\right|^{2}}{|x|\left|x_{0}\right|}<\frac{2\left|x_{0}-x\right|}{\left|x_{0}\right|^{2}}<\frac{2 \delta}{\left|x_{0}\right|^{2}}<\varepsilon$$
$$\Longleftrightarrow \delta<\frac{\varepsilon\left|x_{0}\right|^{2}}{2}$$
Wählen wir
$$\delta<\min \left\{\frac{\left|x_{0}\right|}{2}, \frac{\varepsilon\left|x_{0}\right|^{2}}{2}\right\}$$
