Orthonormalbasis in R4 bestimmen

Question

Aufgabe:

Es sei R4 mit dem Standardskalarprodukt versehen und es sei U = <u1, u2, u3> ≤ R4, wobei

u1 = \( \begin{pmatrix} -1\\2\\1\\-2 \end{pmatrix} \)

u2 = \( \begin{pmatrix} -1\\4\\1\\0 \end{pmatrix} \)

u3 = \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\1 \end{pmatrix} \)

a) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von U

b)Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von W := U^⊥ (U hoch ⊥)

c) Geben Sie eine Basis von <u2>^⊥ an.

Problem/Ansatz:

zu a):

Also erst gucke ich ob die Vektoren linear unabhängig sind. Das sind sie. Dann wende ich das Gram-Schmidt Verfahren an. v1 ist also dann \( \frac{u1}{_|u1|} \) . Ich bekomme raus: \( \frac{1}{\sqrt{10}} \) * \( \begin{pmatrix} -1\\2\\1\\-2 \end{pmatrix} \) . Nach dem gleichen Prinzip berechne ich v2 = \( \frac{1}{\sqrt{10}} \)  * \( \begin{pmatrix} - \sqrt{10} + 10\\4*\sqrt{10}-20\\ \sqrt{10} -10\\-20 \end{pmatrix} \)

und v3 = \( \frac{1}{\sqrt{60}} \) * \( \begin{pmatrix} 7\\1\\3\\1 \end{pmatrix} \)

Nur, das ist doch noch keine Basis oder? ich bin ja im ℝ4, oder? Und wenn ja: wie berechne ich den fehlenden Vektor dann?

zu b) und c)

Hier habe ich gar keinen Ansatz... Ich nehme an die Aufgaben bauen aufeinander auf.

MFG

Answer 1

Nur, das ist doch noch keine Basis oder?

Doch, das ist eine ON-Basis von U; U ist ein 3-dim Teilraum von R^4 .

Und U^T besteht aus allen Vektoren von R^4, die mit U das Skalarprodukt 0

haben, also mit jedem Basisvektor von U das Skalarprod. 0 haben.

Das wäre die Lösungsmenge des Gleichungssystems

\( \begin{pmatrix} -1\\2\\1\\-2 \end{pmatrix} \)*\( \begin{pmatrix} x1\\x2\\x3\\x4 \end{pmatrix} \)=0

 \( \begin{pmatrix} -1\\4\\1\\0 \end{pmatrix} \)*\( \begin{pmatrix} x1\\x2\\x3\\x4 \end{pmatrix} \)=0

\( \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\1 \end{pmatrix} \) *\( \begin{pmatrix} x1\\x2\\x3\\x4 \end{pmatrix} \)=0

Das gibt dann einen 1-dim Teilraum von R^4.

Und entsprechend ist <u2>^T die Lösungsmenge von

 \( \begin{pmatrix} -1\\4\\1\\0 \end{pmatrix} \)*\( \begin{pmatrix} x1\\x2\\x3\\x4 \end{pmatrix} \)=0

Comments

Achso, dann ist das ja doch recht simple. Ich danke dir