Beweisen eines Grenzwertsatzes

Question

Aufgabe:

Gilt nach Voraussetzungen limn→∞ an=a und limn→∞ bn=b, dann zeigen sie, dass limn→∞ (an-bn) = a-b gilt.

Hilfe : Die Dreiecksungleichung l x+y l < l x l + l y l gilt für x,y, element der reellen Zahlen immer!

Kann mir jemand diese Aufgabe beweisen, da ich komplett auf dem Schlauch stehe und meine Lösung falsch war.

Answer 1

nutze die Epsilon-Definition der Konvergenz für Folgen. Also nehme an, dass zu jedem \(\varepsilon >0\) ein \(N\in \mathbb{N}\) existiert derat, dass \(|a_n-a|<\varepsilon/2 \) für alle \(n\geq N\) und analog für \((b_n)_{n\in \mathbb{N}}\). Insgesamt folgt für alle \(n\geq N\):$$|a_n-b_n-(a-b)|=|a_n-b_n-a+b|=|(a_n-a)+(b-b_n)|\leq |a_n-a|+|b_n-b|<\varepsilon /2 +\varepsilon /2=\varepsilon$$