Teilmengen und echte Teilmengen: Welche Symbole?

Question

Ich versuche gerade eine Aufgabe zu verstehen, bestätige mich jedoch wieder darin fundamentale Grundsätze nicht zu verstehen, ich hoffe hier im forum auf hilfe! mfg.

Aufgabe:

Falls A (echte Teilmenge) B und A ⊂C ⊂B, dann gilt entwer A (echte Teilmnenge) C oder C (echte Teilmenge) B.

(iv) Falls \( A \subsetneq B \) und \( A \subset C \subset B \), dann gilt entweder \( A \subsetneq C \) oder \( C \subsetneq B \)
(v) Falls die Menge \( A \) drei Elemente enthält, dann enthält \( \mathscr{P}(A) \) zehn Elemente

In meinem Mathe Buch steht \subset ist einfach ein Synonym für das erwähnte (echte Teilmenge) Symbol mit dem durchgestrichenen Strich. Deswegen bin ich mir auch unsicher, für was es in dieser Frage steht. (ich für mich selbst bin davon ausgegangen dass es einfach für ⊆ steht.)

Meine herangehensweise bei der Frage war jetzt dass die Aussage falsch ist:

Ich habe argumentiert dass A := {a} sein kann, C := { a,b} und B:= {a,c,b} somit schließen sich A (echteteilmenge) C und C (echteteilmenge) B nicht aus und Aussage wurde wiederlegt.

Zu meinem Erstaunen habe ich am Ende Aussage und Logik jedoch komplett falsch verstanden und es wurde bewiesen dass Aussage stimmt.

Musterlösung:

Wir wollen die Behauptung durch einen Widerspruch beweisen. Wir nehmen also an, dass \( A \) keine echte Teilmenge von \( B \) ist und dass \( B \) keine echte Teilmenge von \( C \) ist. Wenn \( A \) keine echte Teilmenge von \( C \), aber andererseits nach Voraussetzung gilt \( A \subset C \), dann muss \( A=C \) sein. Ebenso, wenn \( C \) keine echte Teilmenge von \( B \) ist, aber andererseits nach Voraussetzung gilt \( C \subset B \), dann muss \( C=B \) sein. Somit wäre dann \( A=C=B \), was aber im Widerspruch zur Voraussetzung \( A \subsetneq B \) steht. Folglich können unsere Annahmen nicht korrekt sein, also gilt \( A \subset C \) oder \( C \subset B \).

Comments

Sollen \(\subsetneq\) und \(\subset\) das gleiche bedeuten?

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das weiß ich eben nicht, in meinem buch steht ja, ich habe zu dieser Aufgabe aber kein skript.

Mein Buch hat nichts mit dieser Aufgabe zu tun.

Answer 1

Falls A (echteteilmenge) B und A ⊂B⊂C , dann gilt entwer A (echteteilmnenge) C oder C (echteteilmenge) B

Die Aussage ist wahr.

A (echteteilmenge) B bedeutet unter Anderem, es gibt ein b ∈ B, so das b ∉ A ist.

B⊂C bedeutet bei dir: jedes b∈B ist auch Element von C. Damit kann C (echteteilmenge) B schon mal nicht sein.

Weil jedes b∈B auch Element von C ist, ist auch das b Element von C, das nicht Element von A ist. Also ist A≠C. Wegen der Transitivität von ⊂ ist dann A (echteteilmenge) C.

Notation:

    \(\subsetneq\) Echte Teilmenge

    \(\subseteq\) Echte oder "unechte" Teilmenge

    \(\subset\) Je nach Autor bedeutet dieses Zeichen das gleiche wie das erste oder das gleiche wie das zweite Zeichen.

Comments

danke für deine antwort aber eine frage, woher nimmst du das B⊂C, das steht doch nirgendswo in der Aufgabe?

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Da steht "A⊂B⊂C". Das ist eine Abkürzung für "A⊂B und B⊂C".

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sorry für meine völlige idiotie von verplantheit.

Die Aufgabe heißt nicht A ⊂B⊂C ,wie ich es gesagt habe sondern A ⊂ C ⊂ B.

sorry für deine verschwendete zeit!

bitte um verzeihung!

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Dann ist die Behauptung falsch.

Beispiel. A = ∅, C = {1}, B = {1,2}.

Dann gilt sowohl A\(\subsetneq\)C, als auch C\(\subsetneq\)B.

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in der lösung wird die aufgabe aber als richtig dargestellt und bewiesen, deswegen bin ich verwundert!

die herangehensweise hatte ich aber auch oswald!.

die lösung hier nochmal.

Wir wollen die Behauptung durch einen Widerspruch beweisen. Wir nehmen also an, dass \( A \) keine echte Teilmenge von \( B \) ist und dass \( B \) keine echte Teilmenge von \( C \) ist. Wenn \( A \) keine echte Teilmenge von \( C \), aber andererseits nach Voraussetzung gilt \( A \subset C \), dann muss \( A=C \) sein. Ebenso, wenn \( C \) keine echte Teilmenge von \( B \) ist, aber andererseits nach Voraussetzung gilt \( C \subset B \), dann muss \( C=B \) sein. Somit wäre dann \( A=C=B \), was aber im Widerspruch zur Voraussetzung \( A \subsetneq B \) steht. Folglich können unsere Annahmen nicht korrekt sein, also gilt \( A \subset C \) oder \( C \subset B \).

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dann gilt entwer A (echteteilmnenge) C oder C (echteteilmenge) B

Die Formulierung "entweder ... oder ..." besagt, dass nur eine der beiden Aussagen zutrifft (siehe Duden: "entweder").

Möchte man zulassen, dass beide Aussagen zutreffen, dann darf das "entweder" da nicht stehen.

Anscheinend gibt es Menschen, die das anders sehen. Meiner Meinung nach haben die nicht mehr alle Waffeln im Schrank.

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ich find solche formulierungen bei dem 2ten aufgabenblatt das man in analysis kriegt zumindest fatal.

die erzeugen bei neuen studenten find ich ziemlich viel unsicherheit.

Answer 2

Streng formal gilt: Für jede Menge M gilt, dass sowohl die leere, als auch die volle Menge (also M selbst) Teilmengen von M sind. (Volle Menge ist kein mathematischer Begriff, sollte vielleicht aber einer werden.)

In Analogie zu kleiner bzw. kleiner/gleich wird \subset manchmal nicht auf die volle Menge angewendet.

Um nun genau unterscheiden zu können, ob die volle Menge als Teilmenge gelten soll oder nicht, gibt es die Symbole \subseteq und \subsetneq.

Viele mathematische Regeln geben allerdings nur dann einen Sinn (siehe z.B. Deine Potenzmenge oben), wenn man die volle Menge als Teilmenge akzeptiert, gehe also immer auch davon aus.