Warum entfällt ein negatives Vorzeichen vor Bruch mit Potenz im Zähler?

Question

Geben Sie die Lösungsmenge an:

(m-x)/n = (x+n)/m

Problem:

Bei Auflösen der Gleichung erhalte ich:  x = -(n²-m²)/(n+m)

Das Lehrbuch gibt als Lösungsmenge allerdings: L={(m²-n²)/(m+n)} an.

Gibt es da eine Regel, die o.g. Umstellung und Entfall des Vorzeichens erlaubt, welche ich nicht kenne, oder was läuft da?

Danke & sorry für die wahrscheinlich blöde Frage.

Comments

Das ist eine geute, keine blöde Frage :)

Eigentlich müsste noch irgendwo stehen, dass m+n nicht 0 sein darf. Der Fall m+n = 0 müsste noch separat betrachtet werden, falls das nicht in den Voraussetzungen der Fragestellung irgendwie ausgeschlossen wurde.

Answer 1

$$ \frac{m-x}{n} = \frac{x+n}{m} $$

Überkreuz multiplizieren

m·(m-x)=n·(x+n)

m²-mx=nx+n²

m²-n²=nx+mx

Faktorenzerlegung

(m-n)·(m+n)=(n+m)·x    |:(m+n) bzw. :(n+m)

m-n=x

Das Ergebnis im Lehrbuch ist nicht gekürzt!

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Auch Dir besten Dank, Überkreuz multiplizieren geht hier deutlich schneller als erst die Nenner zu erweitern!

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Das Durchmultiplizieren mit dem Hauptnenner hat genau das Ergebnis des überkreuz Multiplizierens. Nur deshalb ist das überkreuz Multiplizieren erlaubt.

Answer 2

Ein negatives Vorzeichen dreht alle Vorzeichen in der Klammer um, wenn man es 'entfernt' bzw. man es mit der Klammer vermultipliziert.

-(n^2-m^2) = -1 * (n^2-m^2) = (-n^2+m^2) = (m^2-n^2)

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Tausend Dank für die schnelle Antwort!