Aloha :)
Der Bruch kommt eigentlich nicht durch das Ableiten, sondern von der Basis des Logarithmus. Für die Ableitung des natürlichen Logarithmus gilt:$$\left(\ln x\right)'=\frac{1}{x}$$Hier sind jedoch keine natürlichen Logarithmen am Werk, sondern einer zur Basis \(4\) und einer zur Basis \(2\). Diese kann man jedoch auf den natürlichen Logarithmus zurückführen. Allgemein gilt:$$\log_a(x)=\frac{\ln x}{\ln a}$$Daher ist$$\log_4(x)=\frac{\ln x}{\ln 4}\quad;\quad\log_2(x)=\frac{\ln x}{\ln 2}$$Die Funktion muss also eigentlich vor dem Ableiten entsprechend vorbereitet werden:$$f(x)=\log_4(x)\cdot\log_2(x)=\underbrace{\frac{\ln x}{\ln4}}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{\ln x}{\ln 2}}_{=v}$$$$f'(x)=\underbrace{\frac{1}{\ln4}\cdot\frac{1}{x}}_{=u'}\cdot\underbrace{\frac{\ln x}{\ln2}}_{=v}+\underbrace{\frac{\ln x}{\ln 4}}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{1}{\ln 2}\cdot\frac{1}{x}}_{=v'}$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{\ln4}\cdot\underbrace{\frac{\ln x}{\ln 2}}_{=\log_2(x)}+\underbrace{\frac{\ln x}{\ln 4}}_{=\log_4(x)}\cdot\frac{1}{\ln2}\right)$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{1}{x}\left(\frac{\log_2(x)}{\ln4}+\frac{\log_4(x)}{\ln2}\right)$$Alternativ zu der Rechnerei könnte man auch vorab herleiten:$$[\log_a(x)]'=\left[\frac{\ln x}{\ln a}\right]'=\frac{1}{\ln a}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{x\,\ln a}$$Falls es sich um den natürlichen Logarithmus handelt, ist \(a=e\) und \(\ln a=\ln e=1\), sodass der zusätzliche Faktor \(\ln a\) in der Ableitung wegfällt.
