Wurzelgleichung bei der auf einen Seite ein Wurzelterm steht und auf der anderen ein Wurzelterm und ein absolutes Glied?

Question

Hallo leider wurde dieser Sonderfall in dem Videomaterial zu den Wurzelgleichungen nicht einbezogen:

Eine Wurzelgleichung bei der auf einen Seite ein Wurzelterm steht und auf der anderen ein Wurzelterm und ein absolutes Glied

Bitte um Hilfe bzw. die Methodik bei der Ermittlung der Lösung.

Beispiel:

$$\sqrt { 2 x - 4 } = \sqrt { 4 x - 1 } - 2$$

Answer 1

Da musst du beide Seiten quadrieren um eine Gleichung zu erhalten, die nur noch 1 Wurzel enthält.

2x - 4 = (4x - 1) -  4√(4x-1)     + 4       

Anmerkung zur rechten Seite. Wenn man eine Differenz quadriert, ist die binomische Formel zu verwenden.

(a-b)² mit a = √(4x-1) und b = 2.

 -  4√(4x-1)  entspricht dem "-2ab" in der Formel. Ich habe hier "-2ba" genommen, da b nicht unter das Wurzelzeichen darf.

 

Danach die Wurzel isolieren und nochmals quadrieren.

4√(4x-1) = 2x + 7                  |:4

√(4x-1)  = 0.5x + 1.75

4x-1 = (0.5x +1.75)²

4x-1 = 0.25x² + 1.75x + 3.0625

Jetzt hast du eine wurzelfreie Gleichung.

Löse die (wenn möglich) und teste die Resultate in der ursprünglichen Gleichung.

0 = 0.25x² - 2.25x + 4.0625

0 = x² - 9x + 16.25

x = 0.5(9±√(81 - 65))

x = 0.5(9±4)

x₁ = 6.5, x₂ = 2.5

 

Es sollten gemäss folgendem Graf 2 Lösungen rauskommen. Eine zwischen 2 und 3 und die andere zwischen 6 und 7

 

 

 

Comments

vielen Dank für die zahlreichen Lösungsansätze..
 

Wie kommt man den auf den fett und grün markierten Teil?

2x - 4 = (4x - 1) -  4√(4x-1)     + 4     

Warum wird die Ursprungsgleichung nach dem Quadrieren nicht zu:

2x - 4 = (4x - 1) + 4     

?

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Und noch eine andere Frage:

4√(4x-1) = 2x + 7

√(4x-1)  = 0.5x + 3.5

 

Das hast Du doch die Gleichung durch 4 dividiert, oder?

2x / 4 = 0,5x   -> passt

7 / 4 = 3,5 -> warum ? Müsste doch 3 sein?

 

 .

ProudTiger

PS: Ich glaube Kai sollte wirklich Mal mit dem Gedanken spielen noch ein Zusatz - Video zu den Wurzelgleichungen nachzureichen in dem genau sowas behandelt wird.. ;-((((

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Danke für den Hinweis zu 3.5. Dort sollte es 1.75 heissen.

Ich habe im ersten Teil eine Anmerkung ergänzt und am Schluss fertig gerechnet. Sollte jetzt also stimmen ;-)

Answer 2

Leider kann  ich  es nicht genau erklären ,aber die Wuzrelgleichung erfüllt sich  nur dann , wenn die eine  √1 und √9 ergibt und die andere √9 und √25

1. 2x-4=1   x=5/2

    4x-1=9  x=10/4 x=5/2

.2. 2x-4=9    x=13/2

     4x-1=25   x=13/2

 Es müsste so gehen, die Gleichung umstellen.

macht nur Sinn wenn bei der 18 auch ein x steht , habe ich leider vergessen, beim Übertragen.

 

 

 

 

Answer 3

√(2·x - 4) = √(4·x - 1) - 2
2·x - 4 = - 4·√(4·x - 1) + 4·x + 3
-2·x - 7 = - 4·√(4·x - 1)
4·x^2 + 28·x + 49 = 64·x - 16
4·x^2 - 36·x + 65 = 0

Mit der abc-Formel ergeben sich die Lösungen

x1 = 13/2 = 6,5
x2 = 5/2 = 2,5

Die Lösungen wären jetzt einzusetzen um es zu überprüfen

√(2·6.5 - 4) = √(4·6.5 - 1) - 2
wahr

√(2·2.5 - 4) = √(4·2.5 - 1) - 2
wahr

Damit sind die Lösungen 2.5 und 6.5.

Comments

Ich kann alles nachvollziehen ausser folgendem Zwischenschritt:

√(2·x - 4) = √(4·x - 1) - 2
2·x - 4 = - 4·√(4·x - 1) + 4·x + 3

Wie errechnet man es ?

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Anwenden der binomischen Formeln und zusammenfassen.

(√(4·x - 1) - 2)^2 = √(4·x - 1)^2 - 2·2·√(4·x - 1) + 4 = 4·x - 1 - 4·√(4·x - 1) + 4 = -4·√(4·x - 1) + 4·x + 3