Antwort mit KI erzeugt
a) Gruppenkürzungsregel
Um die Kürzungsregel in einer Gruppe zu zeigen, gehen wir davon aus, dass \(G\) eine Gruppe mit der Verknüpfung \(*\) ist und \(a,b,c\) Elemente von \(G\) sind. Wir müssen beweisen, dass, wenn \(a*c = b*c\) oder \(c*a = c*b\), dann \(a = b\).
Fall 1: \(a*c = b*c\)
Da \(G\) eine Gruppe ist, existiert für jedes Element \(c\) in \(G\) ein inverses Element \(c^{-1}\), für das gilt: \(c*c^{-1} = e\) und \(c^{-1}*c = e\), wobei \(e\) das neutrale Element in \(G\) ist.
Um zu zeigen, dass \(a=b\), multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung \(a*c = b*c\) von rechts mit \(c^{-1}\):
\(
a*c*c^{-1} = b*c*c^{-1}
\)
Da die Gruppenverknüpfung assoziativ ist, können wir schreiben:
\(
a*(c*c^{-1}) = b*(c*c^{-1})
\)
Nun ersetzen wir \(c*c^{-1}\) durch das neutrale Element \(e\):
\(
a*e = b*e
\)
Das neutrale Element hat die Eigenschaft, dass jedes Element, mit dem es verknüpft wird, sich selbst ergibt:
\(
a = b
\)
Fall 2: \(c*a = c*b\)
Die Argumentation verläuft analog. Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung \(c*a = c*b\) von links mit \(c^{-1}\):
\(
c^{-1}*(c*a) = c^{-1}*(c*b)
\)
Wieder unter der Assoziativität:
\(
(c^{-1}*c)*a = (c^{-1}*c)*b
\)
Ersetzen von \(c^{-1}*c\) durch \(e\):
\(
e*a = e*b
\)
Somit ergibt sich:
\(
a = b
\)
Damit haben wir gezeigt, dass unter den gegebenen Bedingungen \(a = b\).
b) Nullproduktregel in einem Körper
Sei \(K\) ein Körper und sind \(a,b \in K\) mit \(a*b = 0\), dann müssen wir zeigen, dass \(a = 0\) oder \(b = 0\).
Angenommen \(a \neq 0\). Da \(K\) ein Körper ist, existiert ein multiplikatives Inverses \(a^{-1}\) zu jedem Element \(a\) in \(K\), das nicht null ist. Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung \(a*b = 0\) mit \(a^{-1}\), erhalten wir:
\(
a^{-1}*(a*b) = a^{-1}*0
\)
Unter Nutzung der Assoziativität haben wir:
\(
(a^{-1}*a)*b = 0
\)
Da \(a^{-1}*a = e\), dem neutralen Element bezüglich der Multiplikation in \(K\), haben wir:
\(
e*b = 0
\)
Da \(e*b = b\), folgt daraus \(b = 0\).
Falls \(a = 0\), ist die Bedingung direkt erfüllt. Damit ist bewiesen, dass, wenn \(a*b = 0\), dann \(a = 0\) oder \(b = 0\).
c) Negatives Element einer Produktoperation in einem Körper
Um zu zeigen, dass \(- (a*b) = (-a)*b\) für alle \(a,b \in K\), wo \(K\) ein Körper ist, verwenden wir die Eigenschaften eines Körpers.
Ein Körper \(K\) besitzt additive Inversen, d.h., für jedes \(a \in K\) gibt es ein \(-a \in K\), sodass \(a + (-a) = 0\).
Wir zeigen, dass:
\(
(a + (-a))*b = 0*b
\)
Dies ergibt auf Grund der Distributivität:
\(
a*b + (-a)*b = 0
\)
Da \(0*b = 0\), folgt:
\(
a*b + (-a)*b = 0
\)
Folglich muss \((-a)*b\) das additive Inverse von \(a*b\) sein, womit \(- (a*b) = (-a)*b\). Damit ist die Gleichheit gemäß den Regeln eines Körpers gezeigt.
