Einen Grenzwert für x gegen unendlich finden

Question

Bestimme \( \lim\limits_{x\to\infty} \) (x·ln\( \frac{x+1}{x-1} \)). Wie löst man dies Problem?

Comments

Du könntest alternativ auch x als 1/(1/x) schreiben und l'Hospital anwenden.

Answer 1

Benutze, dass  a*ln b = ln b^a  ist.

Comments

Meine Frage sollte helfen, die unmittelbar davor gestellte Frage zu beantworten. Drehen wir uns jetzt im Kreise?

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Formulieren wir es mal so :  Ich versuche, euch von eurem überaus unnützen Umweg zurückzuholen.

Answer 2

Indem man sich an die Defnition der Exponentialfunktion erinnert.

(Und nicht ständig mit Hospital ankommt!)

Answer 3

lim (x → ∞) x * ln((x + 1)/(x - 1))

= lim (x → ∞) x * ln((x - 1 + 2)/(x - 1))

= lim (x → ∞) x * ln(1 + 2/(x - 1))

= lim (x → ∞) ln((1 + 2/(x - 1))^x)

Schauen wir uns das Argument an

lim (x → ∞) (1 + 2/(x - 1))^x

mit z = x - 1 bzw. x = z + 1

= lim (x → ∞) (1 + 2/z)^(z + 1)

= lim (x → ∞) (1 + 2/z)^z * (1 + 2/z) = e^2 * 1 = e^2

Kommen wir zurück zum Logarithmus

lim (x → ∞) ln((1 + 2/(x - 1))^x) = ln(e^2) = 2