LGS rechnen: Fehler ?..

Question

Aufgabe:

Mir gegeben wurde :

a    +  b +  c + d  = 0

27a + 9b + 3c + d  = 1

18a + 2b                = 0

27a + 6b +  c        = 0.75

Problem/Ansatz:

Ich rechne das mit Gauß Methode:

1  1   1   1 |0

27  9  3  1 | 1 * (-1/27)

18  2  0  0 | 0 * (-1/18)

27  6  1  0 | 0.75 * (-1/27)

=>

1  1  1  1 |0

0  2/3  8/9  26/27 | -1/27

0   8/9  1    1        | 0 *(-3/4)

0   7/9   26/27  1  | 1/36 *(-6/7)

=>

1  1  1  1 |0
0  2/3  8/9  26/27.   | -1/27
0  0    5/36  23/168 | -1/27

0  0    4/63   20/189 | -23/378 * (-35/16)

=>

1  1  1  1 |0
0  2/3  8/9  26/27.  | -1/27
0  0    5/36  23/168 | -1/27

0  0   0    469/3024 | 581/6048

=>

d=83/134

Richtige Antwort ist :

y= -x^3/16 +9x^2/16 -15x/16+7/16

Kann jemand mir helfen meinen Fehler zu finden ,

Answer 1

Du multiplizierst die zweite Gleichung mit (-1/27) - das ist zwar ungeschickt, aber möglich. Bei den restlichen Gleichungen gehst du ähnlich vor und erhältst immer wieder Brüche.

Du verminderst das Risiko von Rechenfehler mit Brüchen, wenn du

- als neue zweite Zeile die alte zweite Zeile mit dem (-27)-fachen der ersten addierst

- als neue dritte Zeile die alte dritte Zeile mit dem (-18)-fachen der ersten addierst

- als neue vierte Zeile die alte vierte Zeile mit dem (-27)-fachen der ersten addierst

Answer 2

Du verwendest das Gauß-Verfahren in der für händisches Rechnen denkbar ungeschicktestem Weise. Einfacher geht es so:

   a    +  b +  c + d  = 0
27a + 9b + 3c + d  = 1
18a + 2b                = 0
27a + 6b +  c         = 0.75

(2) := ((2)-(1))/2 und (3):=(3)/2:

  a    +  b +  c + d  = 0
13a + 4b +  c        = 1/2
  9a +   b               = 0
27a + 6b +  c        = 3/4

(4):=((4)-(2))/2:

  a    +  b +  c + d  = 0
13a + 4b +  c       = 1/2
  9a +  b              = 0
  7a +  b             = 1/8

(4):=((3)-(4)/2:

  a    +  b +  c + d  = 0
13a + 4b +  c      = 1/2
   9a +  b              = 0
     a                    = -1/16

Nun zum Beispiel Rückwärtseinsetzen oder mit erweitertem Gauß-Algorithmus fortfahren um den Rest zu berechnen.

Answer 3

Dein erster Rechenfehlr ist in Zeile

0  7/9  26/27  1  | 1/36 *(-6/7)

Dort müsste es -1/36 statt 1/36 lauten

Du gehst sehr ungeschickt vor. Hier meine Methode

a + b + c + d = 0
27·a + 9·b + 3·c + d = 1
18·a + 2·b = 0
27·a + 6·b + c = 0.75

II - I ; III ; IV

26·a + 8·b + 2·c = 1
18·a + 2·b = 0
27·a + 6·b + c = 0.75

II ; 2*III - I

18·a + 2·b = 0
28·a + 4·b = 1/2

II - 2*I

- 8·a = 1/2 --> a = - 1/16

Nun braucht nur noch rückwärts aufgelöst werden. Und wenn du mal meine Rechnungen anschaust sind die wesentlich einfacher. Ich kann meine Rechnungen im Kopf durchführen, weil ich hier fast ohne Brüche und nur mit einfachen Multiplikationen auskomme.

Answer 4

Wie schon bemerkt führt Deine Methode mit Brüchen schnell zu Rechenfehlern. Es ist besser, nur mit ganzen Zahlen zu arbeiten. Abgesehen davon würde Deine Methode natürlich auch zum richtigen Ergebnis führen.

Der erste Rechenfehler befindet sich im zweiten Block in der vierten Zeile

gegeben : 0  7/9  26/27  1  | 1/36 *(-6/7)

richtig : 0  7/9  26/27  1  | -1/36

Der zweite Fehler befindet sich ebenfalls im zweiten Block

8/9 *(-3/4) ist zwar identisch mit 7/9 *(-6/7), müsste jedoch unterschiedliche Vorzeichen aufweisen, um durch Addition eine Null zu erzeugen. Weitere Fehler habe ich nicht mehr geprüft.