Diagonalisierbarkeit im F3

Question

Aufgabe: Entscheiden Sie, ob die Matrix

1	1	0	0
0	1	0	1
0	2	1	0
0	1	0	1

aus Mat₄(F₃)

diagonalisierbar ist. Bestimmen Sie ggf.  eine Basiswechselmatrix.

Ansatz:

(1-λ)	1	0	0
0	(1-λ)	0	1
0	2	(1-λ)	0
0	1	0	(1-λ)

Mit Laplace nach der ersten Spalte entwickelt:

χ_Α(det(Α-λ_Ε)) = λ^4-λ^3+2λ^2-2λ

=λ*(λ^3-λ^2+2λ-2)

λ₁= 0

Mich irritiert der Modulo in Verbindung mit der Polynomdivision aber ich meine auf ein richtiges Ergebnis gekommen zu sein.

Hab dann Polynomdivision angewendet auf λ^3-λ^2+2λ-2 mit x-1 geteilt und kriege x^2+2 raus was mir keine reelle Lösung bringt.

Wenn ich eine doppelte polynomdivision versuche komme ich auch auf nichts.

Was mache ich falsch bei der Berechnung?

Bis dahin hab ich ja nur zwei Eigenwerte 0 und 1.

Comments

Tipp: In F₃ gilt 2 = -1, also ist λ² + 2 = λ² - 1 = (λ + 1)·(λ - 1).
Nach reellen Lösungen ist nicht gefragt.

Answer 1

Man entwickelt die Determinate nach der ersten Spalte, weil nur das erste Element der Spalte ungleich Null ist.

DetA = (1-L) * Det ( [ 1-L 0 1; 2 1-L 0; 1 0 1-L ) =

(1-L) * [ (1-L)*(1-L)*(1-L) - (1-L) ] =

(1-L)^4 - (1-L)^2 =

L^4 - 4L^3 + 5L^2 - 2L

Das charakteristische Polynom lautet also x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x = 0

reelle Lösungen (Eigenwerte):  { 0 ;  1 ;  1 ;  2 }

Eigenvektor zum Eigenwert 0:  [ 1 ; -1 ; 2 ; 1 ]

Eigenvektor zum doppelten Eigenwert 1:  [ 1 ; 0 ; 0 ; 0 ]  [ 0 ; 0 ; 1 ; 0 ]

Eigenvektor zum Eigenwert 2:  [ 1 ; 1 ; 2 ; 1 ]

Comments

Polynomdivison hät ich dann:
(x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x) : (x-1) = x^3+2x

einsetzen: 1^3+2*1 = 0
3=0 //mod 3 0=0

zweite Polynomdivision:
(x^3+2x) : (x-1) = x^2+x
Dadrauf pq-Formel angewandt:
x₃ = 0;
x₄ = -1 //mod 3
x₄ = 2;

Hab die Eigenräume auch ausgerechnet und die selben raus.
=> Da die algebraischen Vielfachheiten den geometrischen entsprechen wäre die Matrix also diagonalisierbar mit Diagonalmatrix
D=

0	0	0	0
0	1	0	0
0	0	1	0
0	0	0	2

und T =

1	1	0	1
-1	0	0	1
2	0	1	2
1	0	0	1

Wie bestimme ich nun die Basiswechselmatrix? wäre es die überprüfung meines ergebnisses mit D= T^-1*A*T?

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Eigenvektoren :

v1 = [ 1 ; -1 ; 2 ; 1 ]
v2 = [ 0 ; 0 ; 1 ; 0 ]
v3 = [ 1 ; 0 ; 0 ; 0 ]
v4 = [ 1 ; 1 ; 2 ; 1 ]

S ergibt sich aus den Eigenvektoren
S = | v1 v2 v3 v4 |    (v1,v2,v3,v4 als Spalten)

Dann gilt

A * S = S * A(diag)

S^-1 * A * S = A(diag)

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Input : diagonalize { { 1,1,0,0}, { 0,1,0,1} , { 0,2,1,0}, { 0,1,0,1} }